1942年(昭和17年)東京帝國大學(春入學)農學部-數學[1]

2022.05.29記

[1] $\sqrt[5]{0.999}$ ノ値ヲ小數第四位迄求メヨ．又ソノ際ノ誤差ハ凡ソ何程カ．

2022.05.30記

[解答]
$\sqrt[5]{0.999}=(1-10^3)^{1/5}$ である．

ここで Taylor の定理と一般二項係数から
$(1-x)^{1/5}=1-{}_{1/5}\mbox{C}_1x+{}_{1/5}\mbox{C}_2(1-c)^{-9/5}x^2$
$=1-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right)(1-c)^{-9/5}x^2$
$=1-\dfrac{1}{5}x-\dfrac{2}{25}(1-c)^{-9/5}x^2$
なる $0\lt c\lt x$ が存在する． $x=10^{-3}$ とおくと
$0.9998-\sqrt[5]{0.999}=\dfrac{2}{25}(1-c)^{-9/5}10^{-6}\lt 8\times 10^{-8}\dfrac{1}{(1-c)^{9/5}}$
$\lt 8\times 10^{-8}\dfrac{1}{(1-c)^{2}}$ $\lt 8\times 10^{-8}\dfrac{1}{1-2c}$ $=8\times 10^{-8}\dfrac{1}{0.998}=8.016\cdots\times 10^{-8}<10^{-7}$
となる．