[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1942年(昭和17年)東京帝國大學(秋入学)理學部-數學[2]

2022.05.29記

[2] a\neq b，\alpha+\beta=1 ナルトキ
a^\alpha b^\beta < a\alpha+b\beta
ナルコトヲ證明セヨ．但シ a,b,\alpha,\beta ハ正數トス．

本問のテーマ
Jensen の不等式

2022.05.29記

[解答]
両辺正であるから自然対数をとり，\alpha+\beta=1 を用いると
\dfrac{\alpha \log a+\beta \log b}{\alpha+\beta} < \log \dfrac{\alpha a+\beta b}{\alpha+\beta}
を証明すれば良いが，(\log x)''=-\dfrac{1}{x^2} は x\gt 0 で上に凸であるから，Jensen の不等式より成立する．