1993年(平成5年)東京都立大学理系-[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.05.15記

[1] 実数 $a,\,b,\,c$ は $1\geqq a\geqq b\geqq c\geqq\dfrac{1}{4}$ をみたすとする． $x+y+z=0$ なる実数 $x,\,y,\,z,$ に対して $ayz+bzx+cxy\leqq 0$ が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどんな時か．

2020.05.15記
都立大はA日程。数学科は理系数学以外に数学科専用問題がある。

[解答]
$x+y+z=0$ だから、 $xy,\,yz,\,zx$ のうち0以上のものが1つ、0以下のものが2つである。 $x,\,y,\, z$ を並べ換えたものを $X,\,Y,\,Z$ として、0以上のものを $YZ$ 、 0以下のものを $ZX\geqq XY$ とすることができる。

このとき、チェビシェフの不等式から $ayz+bzx+xy \leqq aYZ+bZX+cXY$ であり、 $YZ\geqq 0\geqq ZX\geqq XY$ から
$aYZ+bZX+cXY$ $\leqq YZ+\dfrac{1}{4}ZX+\dfrac{1}{4}XY$ $= YZ+\dfrac{1}{4}X(Y+Z)$ $=YZ-\dfrac{1}{4}(Y+Z)^2$ $=-\dfrac{1}{4}(Y-Z)^2$ $\leqq 0$
となる。

後半の等号成立は、 $Y=Z, a=1, b=c=\dfrac{1}{4}$ または $X=Y=Z=0$ である。前半のチェビシェフの不等式を考慮すると、
$x=X,y=z=Y=Z$ または $x=y=z=X=Y=Z=0$ となるので、求める等号成立条件は $y=z,a=1, b=c=\dfrac{1}{4}$ または $x=y=z=0$ となる。