1943年(昭和18年)東京帝國大學理學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] $a,b,p,q$ ガ正ノ數ナルトキ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{pa^n+qb^n}$ ヲ求メヨ。

2020.03.29記

[解答]
$pa^n+qb^n \geqq \min\{p,\,q\} (a^n+b^n)\geqq \min\{p,\,q\}\max\{ a^n,\,b^n\}$ ，
$pa^n+qb^n \leqq p\max\{ a^n,\,b^n\}+q\max\{ a^n,\,b^n\}=(p+q)\max\{ a^n,\,b^n\}$ により、
$\sqrt[n]{\min\{p,\,q\}}\max\{ a,\,b\}\leqq\sqrt[n]{pa^n+qb^n}\leqq \sqrt[n]{p+q}\max\{ a,\,b\}$
であるから、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\min\{p,\,q\}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{p+q}=1$ および、はさみうちの原理により、
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{pa^n+qb^n}=\max\{ a,\,b\}$

2020.04.01記
原点と $(x_1,\, x_2,\, \ldots,\, x_k)$ との $n$ 乗ノルムは $\sqrt[n]{|x_1|^n+|x_2|^n+\cdots +|x_k|^n}$ であり、 $n$ を無限大にとばすと、 $\max\{|x_1|,\, |x_2|,\, \ldots,\, |x_k|\}$ になることがわかる。

このことは、
$\max\{|x_1|,\, |x_2|,\, \ldots,\, |x_k|\}$ $=\sqrt[n]{\max\{|x_1|^n,\, |x_2|^n,\, \ldots,\, |x_k|^n\}}$ $\leqq \sqrt[n]{|x_1|^n+|x_2|^n+\cdots +|x_k|^n}$ $\leqq \sqrt[n]{k\max\{|x_1|^n,\, |x_2|^n,\, \ldots,\, |x_k|^n\}}$ $=\sqrt[n]{k}\max\{|x_1|,\, |x_2|,\, \ldots,\, |x_k|\}$
と、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{k}=1$ から言える。