[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1967-01-02

1967年(昭和42年)東京大学-数学(理科)[1]

2020.09.29記

[1] $a$ が正の定数， $n$ が正の整数ならば， $x\geqq 0$ において不等式 $ax^{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt[n]{a}}\gt x$ が成り立つことを証明せよ．

2020.09.29記

[うまい解答]
AM-GM で
$ax^{n+1} + n\cdot\dfrac{1}{n\sqrt[n]{a}}$ $\geqq (n+1)\sqrt[n+1]{\dfrac{x^{n+1}}{n^n}}$ $=\dfrac{n+1}{n^{\frac{n}{n+1}}} x$
であり， $n+1\gt n\gt n^{1-\frac{1}{n+1}}$ より題意は成立する．