[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1946年(昭和21年)東京帝國大學醫學部藥學科-數學[1]

2022.07.07記

[1] pを1に比べて充分小さい正數とするとき，三次方程式px^3-x+1=0の一根は近似的にx=1+p+3p^2で與えられる事を示せ．尚他の二根はほぼどのやうな値をもつか．

2022.07.16記
どこまで近似すべきか悩む所．

[解答]
f(x)=px^3-x+1 とおくと，
f(1+p+3p^2)=12p^3+19p^4+36p^4+36p^5+27p^6+27p^3
であるから，p^3 が1に比べて十分0に近いとき(o(p^3))において
f(1+p+3p^2)=0
だから、x\mbox{≒}1+p+3p^2 で与えられる．

残りの2解を \alpha,\beta(\alpha\leqq\beta) とおくと
解と係数の関係により
\alpha+\beta=-(1+p+3p^2)，
\alpha\beta=-\dfrac{1}{p(1+p+3p^2)}\mbox{≒}-\dfrac{1}{p}\left(1-(p+3p^2)+(p+3p^2)^2\right)
\mbox{≒}-\dfrac{1}{p}(1-p-2p^2)
が成立する．よって
(\beta-\alpha)^2\mbox{≒}(1+p+3p^2)^2+\dfrac{4}{p}(1-p-2p^2)
\mbox{≒}\dfrac{4-3p-6p^2}{p}
となり，tが0に近いときに \sqrt{1+x}\mbox{≒}1+\dfrac{x}{2} となることから
\beta-\alpha\mbox{≒}\dfrac{2}{\sqrt{p}}\left(1-\dfrac{3}{8}p-\dfrac{3}{4}p^2\right)
となる．

よって
\alpha\mbox{≒}-\dfrac{1+p+p^2}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{p}}\left(1-\dfrac{3}{8}p-\dfrac{3}{4}p^2\right)，
\beta\mbox{≒}-\dfrac{1+p+p^2}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{p}}\left(1-\dfrac{3}{8}p-\dfrac{3}{4}p^2\right)
となる．

解の近似精度に要請がないので
\alpha\mbox{≒}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{p}}，\beta\mbox{≒}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{p}}
あたりで十分な気もする．

なお、当時の解答では、p が 0 に近いのに
\sqrt{1+\dfrac{4}{p}}=1+\dfrac{2}{p}
という間違った近似を用いているものがあった。
\sqrt{1+\dfrac{4}{p}}=\dfrac{2}{\sqrt{p}}\sqrt{1+\dfrac{p}{4}}=\dfrac{2}{\sqrt{p}}\left(1+\dfrac{p}{8}\right)
と近似しなければならない．