1949年(昭和24年)東京大学(新制)-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

新制大学としての第一回目の入試で学部毎の問題ではなくなった。このときは旧制大学の入試も同時に行なわれたようだが情報があまりない。この年から一期校制度が開始されたが、国会審議の遅れから、新制大学の発足は年度を開けてからであり、入試も6月に行なわれたそうな。

解析Ｉ、解析ＩＩ、幾何から1科目選択、150分、100点

【共通】

[1] 次の事柄は正しいか，正しいときには，番號の後へ○印をつけよ．もし一般には正しくないときには，番號の後へ×印をつけて，その成り立つための條件を書け．

1. ある整数が整数 $a$ でも整数 $b$ でも割り切れるならば，これは $a\times b$ で割り切れる．

2. $ax-b=0$ ならば $x=\dfrac{b}{a}$

3. $ax \gt b$ ならば $x \gt \dfrac{b}{a}$

4. $a \gt b$ ならば $a^2 \gt b^2$

5. $z$ が $x$ に正比例し，かつ $y$ に反比例すれば $x$ は $y\times z$ に正比例する．

[2] 次の括弧の中に適當な言葉を入れよ．

1. 二等邊三角形は $(\quad\quad )$ に關して對稱である．

2. 菱形は $(\quad\quad )$ ような平行四邊形である．

3. 正五角形の一つの内角の大きさは $(\quad\quad )$ 度である．

4. 球の表面積は半徑の $(\quad\quad )$ に比例し，その體積は半徑の $(\quad\quad )$ に比例する．

5. 三つの稜の長さが $3$ ， $4$ ， $12$ である直方體内の二點間の距離は $(\quad\quad )$ を超えない．

【解析Ｉ】

[3] 次の函數のグラフの大體の形をえがけ（註：方眼紙を與える）．

1. $y=2(x-1)$

2. $y=(x-1)^2$

3. $y=2^{x-1}$

4. $y=\log_2(x-1)$

5. $y=\sin\pi x$

[4] 次の $(\quad\quad )$ になかへ適當な言葉又は式を入れよ．但しこゝで $a$ ， $b$ ， $c$ 及び $x$ ， $y$ の値は何れも實數値のみを考えるものとする．

$y=ax^2+bx+c$ において

1. $x$ の値をどのようにとつても， $y$ の値はある一定の値を超えないならば， $a$ の値は $(\quad\quad )$ である．

2. $x$ の値をどのようにとつても， $y$ の値がいつも正なら， $a$ $(\quad\quad )$ ， $b^2-4ac$ $(\quad\quad )$ である．

3. $x$ の値をどのようにとつても， $y$ の値がいつも負なら， $a$ $(\quad\quad )$ ， $b^2-4ac$ $(\quad\quad )$ である．

4. $x$ の値によつて， $y$ の値が正にも負にもなり得るならば， $b^2-4ac$ $(\quad\quad )$ である．

5. $x$ の値を適當にとれば， $y$ はどんな値でもとり得るならば， $a$ の値は $(\quad\quad )$ である．

[5] 直徑 $\rm AB$ の長さが1である半圓周上に一點 $\rm P$ をとるとき， $\rm 3AP+4BP$ の最大値を求めよ．

【解析ＩＩ】

[3] 次の事柄は正しいか，正しいときには，番號の後に○印をつけよ．そうでないときには番號の後に×印をつけて，その成り立たない例をあげよ．

1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n{}^2=a^2$ ならば $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=a$

2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=a$ ， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=b$ ならば $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{a}{b}$ ，

3. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=a$ ， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=b$ ， $a_n \lt b_n$ ならば $a \lt b$

4. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\infty$ ， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\infty$ ならば $\displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n-b_n)=0$

5. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\infty$ ， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=-\infty$ ならば $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_nb_n=-\infty$

[4] 與えられた直圓錐のなかに含まれていて，それと同じ軸をもつ直圓柱のうちで體積の最大なものを求めよ．

[5] 座標がそれぞれ $(0,\,-5)$ ， $(2,\,3)$ ， $(4,\,3)$ である三點を通つて，軸が $y$ 軸に平行な抛物線と $x$ 軸とで圍まれた部分の面積を求めよ．

【幾何】

[3] 次の事柄は成り立つか，成り立つときは，番號の前に○印をつけよ．そうでないときには，番號の前に×印をつけてその成り立たない例を圖示せよ．

1. 二つの角の二邊がそれぞれ互に平行ならば，これらの角は互に相等しい．

2. 長さ $a$ ， $b$ ， $c$ の三つの線分が $a+b \gt c$ なる條件を滿足していれば， $a$ ， $b$ ， $c$ を三邊とする三角形を作圖することが出來る．

3. 二つの定圓へ引いた接線の長さの等しい點の軌跡は一つの直線である．

4. 直徑によつて二等分される弦は，この直徑に垂直である．

5. 二つの多角形は，その對應する内角が夫々等しいとき互いに相似である．

[4] 三角形 $\rm ABC$ は，頂點 $\rm A$ を通る適當な直線によつて二つの相似三角形に分けられるという．三角形 $\rm ABC$ の形をしらべよ．

[5] 一つの定圓に外接し，かつ一つの定直線に接する圓の中心の軌跡を求めよ．

1949年(昭和24年)東京大学(新制)-数学(解析Ｉ) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1949年(昭和24年)東京大学(新制)-数学(解析ＩＩ) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1949年(昭和24年)東京大学(新制)-数学(幾何) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.30記
河合出版の東大72年だと、東大新制大学の入試が1949年6月に行われた理由は未調査とあるが，少し調べればわかるように，国会審議が遅れたからである．「国立学校設置法」が施行されたのは 1949年5月31日であるため、新制国立大学の入試は6月以降となったのである（この法律は国立大学の独立法人化によって2004年4月1日に廃止された）．

なお，私立大学や公立大学は「国立学校設置法」に縛られないため，1948年4月から新制大学となった大学もある．

東大の状況については「東京大学百年史通史三」に詳しい．目次は
東京大学百年史通史三 | 東京大学
にあり，目次では「七　新制東京大学への認可申請と国立学校設置法の公布」の中に、「五月の施行と遅延の理由」という項目がある．