[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1949年(昭和24年)東京大学(新制)-数学(解析Ｉ)

[1] 次の事柄は正しいか，正しいときには，番號の後へ○印をつけよ．もし一般には正しくないときには，番號の後へ×印をつけて，その成り立つための條件を書け．

1. ある整数が整数 $a$ でも整数 $b$ でも割り切れるならば，これは $a\times b$ で割り切れる．

2. $ax-b=0$ ならば $x=\dfrac{b}{a}$

3. $ax \gt b$ ならば $x \gt \dfrac{b}{a}$

4. $a \gt b$ ならば $a^2 \gt b^2$

5. $z$ が $x$ に正比例し，かつ $y$ に反比例すれば $x$ は $y\times z$ に正比例する．

[2] 次の括弧の中に適當な言葉を入れよ．

1. 二等邊三角形は $(\quad\quad )$ に關して對稱である．

2. 菱形は $(\quad\quad )$ ような平行四邊形である．

3. 正五角形の一つの内角の大きさは $(\quad\quad )$ 度である．

4. 球の表面積は半徑の $(\quad\quad )$ に比例し，その體積は半徑の $(\quad\quad )$ に比例する．

5. 三つの稜の長さが $3$ ， $4$ ， $12$ である直方體内の二點間の距離は $(\quad\quad )$ を超えない．

[3] 次の函數のグラフの大體の形をえがけ（註：方眼紙を與える）．

1. $y=2(x-1)$

2. $y=(x-1)^2$

3. $y=2^{x-1}$

4. $y=\log_2(x-1)$

5. $y=\sin\pi x$

[4] 次の $(\quad\quad )$ になかへ適當な言葉又は式を入れよ．但しこゝで $a$ ， $b$ ， $c$ 及び $x$ ， $y$ の値は何れも實數値のみを考えるものとする．

$y=ax^2+bx+c$ において

1. $x$ の値をどのようにとつても， $y$ の値はある一定の値を超えないならば， $a$ の値は $(\quad\quad )$ である．

2. $x$ の値をどのようにとつても， $y$ の値がいつも正なら， $a$ $(\quad\quad )$ ， $b^2-4ac$ $(\quad\quad )$ である．

3. $x$ の値をどのようにとつても， $y$ の値がいつも負なら， $a$ $(\quad\quad )$ ， $b^2-4ac$ $(\quad\quad )$ である．

4. $x$ の値によつて， $y$ の値が正にも負にもなり得るならば， $b^2-4ac$ $(\quad\quad )$ である．

5. $x$ の値を適當にとれば， $y$ はどんな値でもとり得るならば， $a$ の値は $(\quad\quad )$ である．

[5] 直徑 $\rm AB$ の長さが1である半圓周上に一點 $\rm P$ をとるとき， $\rm 3AP+4BP$ の最大値を求めよ．

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