[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1952年(昭和28年)東京大学-数学(解析ＩＩ)[2]

[2] 直角座標に関して座標 (1,\,1) の点が原点のまわりを正の向きに 30^{\circ} 回転すればその点の座標はどのようになるか．

2020.03.16記
複素数でサクっとやっとく。

[解答]
\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)(1+i) =\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}i だから， \left( \dfrac{\sqrt{3}-1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\right) となる．

75^{\circ}=\dfrac{5}{12}\pi の sin, cos を覚えていれば 1+i=\sqrt{2}\exp\left\{ i\dfrac{\pi}{4}\right\} により，求める座標の複素平面での値は \sqrt{2}\exp\left\{ i\dfrac{\pi}{4}+i\dfrac{\pi}{6}\right\}=\sqrt{2}\exp\left\{ i\dfrac{5\pi}{12}\right\} となる．よって
\left( \sqrt{2}\cos\dfrac{5\pi}{12},\,\sqrt{2}\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)，
つまり
\left( \dfrac{\sqrt{3}-1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\right) となる．