1961年(昭和36年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.11.23記

[4] $\rm \triangle ABC$ の3 辺 $\rm BC$ ， $\rm CA$ ， $\rm AB$ の上にそれぞれ点 $\rm L$ ， $\rm M$ ， $\rm N$ をとり $\dfrac{\rm BL}{\rm LC}=\dfrac{\rm CM}{\rm MA}=\dfrac{\rm AN}{\rm NB}=\dfrac{1}{2}$ となるようにする． $\rm AL$ と $\rm CN$ の交点を $\rm P$ ， $\rm AL$ と $\rm BM$ の交点を $\rm Q$ ， $\rm BM$ と $\rm CN$ の交点を $\rm R$ とするとき， $\rm \triangle PQR$ の面積と $\rm \triangle ABC$ の面積との比を求めよ．
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2020.11.23記
これが $1:7$ になることは中学入試で良くでる問題．
$\rm AP=PQ$ などから
$\triangle\rm ABQ=\triangle BCR=\triangle CAP=2\triangle PQR$
となり，これからわかる．

2022.02.18記

[解答]
$\vec{\rm AL}=\dfrac{2\vec{\rm AB}+\vec{\rm AC}}{3}$ $=\dfrac{2\vec{\rm AB}+(3/2)\vec{\rm AM}}{3}$ $=\dfrac{7}{6}\cdot\dfrac{4\vec{\rm AB}+3\vec{\rm AM}}{7}$
から
$\rm AQ:QL=6:1$ （， $\rm BQ:QM=3:4$ ）
となるので，
$\triangle\rm ABQ=\dfrac{\rm AQ}{\rm AL}\triangle\rm ABL$ $=\dfrac{\rm AQ}{\rm AL}\cdot\dfrac{\rm BL}{\rm BC}\triangle\rm ABC$ $=\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{1}{3}\triangle\rm ABC$ $=\dfrac{2}{7}\triangle\rm ABC$

同様に考えると，
$\triangle\rm BCR=\triangle\rm CAP=\dfrac{2}{7}\triangle\rm ABC$
となるので，
$\triangle\rm PQR=\dfrac{1}{7}\triangle\rm ABC$
となる．よって
$\rm \triangle PQR$ の面積と $\rm \triangle ABC$ の面積との比は $1:7$ である．