[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1961年(昭和36年)東京大学-数学(理科)[5]

2020.11.23記

[5] $t$ がすべての実数の範囲をうごくとき $x=t^2+1$ ， $y =t^2+t−2$ を座標とする点 $(x，y)$ は一つの曲線をえがく．この曲線と $x$ 軸とによってかこまれる部分の面積を求めよ．

2020.11.23記
普通にパラメータ積分で
$\displaystyle\int_{-2}^1 y \dfrac{dy}{dt}dt$
とやっても良いし， $y=-x+3\pm\sqrt{x-1}$ として真面目に積分
$\displaystyle\int_1^5(-x+3+\sqrt{x-1})dx-\int_1^2(-x+3-\sqrt{x-1})dx$
を計算しても良い．

ここではちょっとテクニカルにやっておく．

[うまい解答]
一次変換 $X=x，Y=y-x$ によって面積は変化しない(行列式の絶対値が1，またはカバリエリの原理)．

このとき， $X=t^2+1，Y=t-3$ だから曲線は $X=(Y+3)^2+1$ という放物線にうつる
(だからもとの曲線も放物線)．

このとき， $x$ 軸は $X+Y=0$ にうつるので，この放物線と直線で囲まれる部分の面積を求めれば良い．
交点の $Y$ 座標は $-5,-2$ だから $\dfrac{1}{6}$ 公式により，求める面積は $\dfrac{1}{6}\cdot 3^3=\dfrac{9}{2}$