1964年(昭和39年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.04.23記

[3] 点 ${\rm V}$ を頂点とし，正方形 ${\rm ABCD}$ を底面とする四角錐 ${\rm V}$ - ${\rm ABCD}$ があって，その $4$ つの側面はいずれも底辺 $20\mbox{cm}$ ，高さ $40\mbox{cm}$ の二等辺三角形である．辺 ${\rm VA}$ 上に ${\rm VP}:{\rm PA}=3:1$ なる点 ${\rm P}$ をとり，3点 ${\rm P}$ ， ${\rm B}$ ， ${\rm C}$ を通る平面でこの四角錐を切るとき，切り口の面積を求めよ．

2022.04.23記

[解答]
題意の平面を $\Pi$ とすると
$\Pi \parallel {\rm BC} \parallel {\rm AD}$ であるから， $\Pi$ と $\rm VD$ の交点を $\rm Q$ とすると， ${\rm PQ}\parallel {\rm AD}\parallel {\rm BC}$ となり，切り口は等脚台形となる．

${\rm VP}:{\rm PA}=3:1$ から ${\rm PQ}=\dfrac{3}{4}{\rm AD}=15\mbox{cm}$ である．

$\rm AD$ の中点を $\rm L$ ， $\rm BC$ の中点を $\rm M$ ， $\rm PQ$ の中点を $\rm N$ とすると
${\rm NL}=\dfrac{1}{4}{\rm VL}=\dfrac{1}{2}{\rm LM}$
であるから ${\rm NL}:{\rm LM}={\rm ML}:{\rm LV}$ となり $\angle\rm L$ 共通から $\triangle{\rm VLM}$ ∽ $\triangle{\rm MLN}$ が成立し相似比は $2:1$ である．

よって ${\rm MN}=\dfrac{1}{2}{\rm VM}=20\mbox{cm}$ となり，求める面積は
$\dfrac{1}{2}(15+20)\times 20=350\mbox{cm}^2$