2022年(令和4年)九州大学前期-数学（IIB）[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.05記

[1] $a$ を $-3\lt a\lt 13$ をみたす実数とし，次の曲線 $C$ と直線 $\ell$ が接しているとする。
$C:y=|x^2+(3-a)x-3a|$ ， $\ell:y=-x+13$
以下の問いに答えよ。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) 曲線 $C$ と直線 $\ell$ で囲まれた2つの図形のうち，点 $(a,0)$ が境界線上にある図形の面積を求めよ．

2022.03.05記

[解答]

(1) $C$ は $y=|(x+3)(x-a)|$ である． $C$ と $\ell$ の接点の $x$ 座標を $t$ とする．

$\ell$ は $(0,13)$ を通る直線であり， $13\gt -3a$ であるから $(0,13)$ は放物線 $y=x^2+(3-a)x-3a$ の点である．
よって $\ell$ と放物線 $y=x^2+(3-a)x-3a$ が接することはない．

よって $C$ と直線 $\ell$ が接するとき，接点は $C$ の $y=-x^2-(3-a)x+3a$ （ $-3\lt x\lt a$ ）においてである．
$-x^2-(3-a)x+3a-(-x+13)=-x^2-(2-a)x+3a-13$ が完全平方式となる必要があり，判別式から
$(2-a)^2+4(3a-13)=a^2+8a-48=(a-4)(a+12)=0$
が必要である． $-3\lt a\lt 13$ により $a=4$ が必要である．

$a=4$ のとき， $C$ と $\ell$ の接点の $x$ 座標は $-x^2+2x-1=-(x-1)^2=0$ から $1$ であり，これは $-3\lt x\lt a=4$ をみたしているから十分である．

よって $a=4$ である．

(2) $\ell$ と放物線 $y=x^2+(3-a)x-3a=x^2-x-12$ の交点を求めると $x=\pm5$ となることから図(省略)を描くと，求める面積は
$\displaystyle\int_{1}^4 \{(-x+13)-(-x^2+x+12)\}dx$ $+\displaystyle\int_{4}^5 \{(-x+13)-(x^2-x-12)\}dx$
$=\displaystyle\int_{1}^4 (x-1)^2 dx$ $+\displaystyle\int_{4}^5 (25-x^2)dx$
$=\dfrac{27}{3}+25-\dfrac{5^3-4^3}{3}$ $=9+25-\dfrac{25+20+16}{3}$ $=\dfrac{41}{3}$
となる．