2022年(令和4年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.26記

[5] 座標空間内の点 ${\rm A}(0,0,2)$ と点 ${\rm B}(1,0,1)$ を結ぶ線分 $\rm AB$ を $z$ 軸のまわりに1回転させて得られる曲面を $S$ とする。 $S$ 上の点 $\rm P$ と $xy$ 平面上の点 $\rm Q$ が $\rm PQ=2$ を満たしながら動くとき，線分 $\rm PQ$ の中点 $\rm M$ が通過しうる範囲を $K$ とする。 $K$ の体積を求めよ。

2022.02.26記
線分 $\rm AB$ を直線 $\rm AB$ と勘違いしていたので書き直し。あと細かいところも修正。

[解答]

$K$ の $z=k$ （ $\dfrac{1}{2}\leqq k\leqq 1$ ）の断面は
${\rm P}'(2-2k,0,2k)$ ， ${\rm Q}(x,y,0)$ （ $\rm PQ=2$ ）の中点の軌跡を $z$ 軸のまわりに一回転させたものである。

つまり円周 $\{x-(2-2k)\}^2+y^2=1-k^2$ （ $z=k$ ）を $z$ 軸のまわりに一回転させたものである。

この円周で $(0,0,k)$ への最短距離が $|\sqrt{1-k^2}-(2-2k)|$ で，最長距離が $\sqrt{1-k^2}+(2-2k)$ であることから，断面は半径 $\sqrt{1-k^2}+(1-k)$ の円から、半径 $|\sqrt{1-k^2}-(1-k)|$ の円を刳り貫いた円環面となり，その面積は
$8\pi(1-k)\sqrt{1-k^2}$
となる。

よって求める体積 $V$ は
$V=\displaystyle\int_{1/2}^1 8\pi(1-k)\sqrt{1-k^2}dk$ $=\displaystyle 8\pi \int_{1/2}^1 \left\{\sqrt{1-k^2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{1-k^2}(-2k)\right\}dk$
であるが
$=\displaystyle \int_{1/2}^1 \sqrt{1-k^2}dk$
が半径1中心角 $\dfrac{\pi}{3}$ の扇形から直角3角形の面積を引いたものとみて
$\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{8}$
となることに注意すると，
$V=\dfrac{4}{3}\pi^2-\sqrt{3}\pi$ $+8\pi\Bigl[\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}(1-k^2)^{3/2}\Bigr]_{1/2}^1$
$=\dfrac{4}{3}\pi^2-2\sqrt{3}\pi$
となる．