1967年(昭和42年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[1] $a$ が正の定数， $n$ が正の整数ならば， $x\geqq 0$ において不等式 $ax^{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt[n]{a}}\gt x$ が成り立つことを証明せよ．

[2] 辺の長さ2の正方形 $A$ が，その中心を円 $x^2+y^2=1$ の周上におきながら，かつその辺を座標軸に平行に保ちながら動く．一方，同じ大きさの正方形 $B$ が固定されていて，辺が座標軸に平行であり，その中心が点 $(1，2)$ にある．このとき，2つの正方形 $A，B$ の共通部分の面積の最大値を求めよ．

注．正方形の中心とは，その2 つの対角線の交点をいう．

[3] 南北の方向に水平でまっすぐな道路上を，自動車が南から北へ時速100 kmで走っている．また飛行機が一定の高度で一直線上を時速 $\sqrt{7}\times 100$ kmで飛んでいる．自動車から飛行機を見たところ，ある時刻にちょうど西の方向に仰角30度に見えて，それから36秒後には北から30度西の方向に仰角30度に見えた．飛行機の高度は何m であるか．

[4] 方程式 $x^2-xy+y^2=3$ の表わす曲線の略図をえがき，その第1象限にある部分が $x$ 軸， $y$ 軸と囲む図形の面積を求めよ．

[5](新課程) $y=ax^2$ のグラフが $y=\log_ex$ のグラフに接するように定数 $a$ の値を定めよ．なお，そのときこれらのグラフと $x$ 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

[5](旧課程) $y =2 \sin x$ のグラフと $y=a-\cos 2x$ のグラフとが接するように定数 $a$ の値を定めよ．なお，そのときの図をかけ．ただし， $0\lt x\lt 2\pi$ の区間についてだけでよい．

[6](新課程) 箱の中に，1から9までの番号を1つずつかいた9 枚のカードがある．それらをよくまぜて，その中から1 枚ずつ続けて全部を取り出し，取り出した順に新しく1から9までの番号をつける．このとき，新しくつけられる番号が前もってつけられている番号に一致するカードが，ちょうど5 枚できる確率を求めよ．

[6](旧課程) 点 ${\rm A}_0$ を一端とする半直線 $l$ 上に点 ${\rm A}_1$ ， ${\rm A}_2$ が与えられていて， $\overline{{\rm A}_0{\rm A}_1} =1$ ， $\overline{{\rm A}_0{\rm A}_2} =8$ であるとする．いまこれから，点 ${\rm A}_n$ （ $n=3，4，5，\cdots\cdots$ ）を次の手順で定める．

(1) ${\rm A}_{n-2}$ ， ${\rm A}_{n-1}$ のうち ${\rm A}_0$ に近い方を $\rm X$ ，遠い方を $\rm Y$ とする．線分 ${\rm A}_0{\rm Y}$ を直径とする半円と， $\rm X$ における $l$ の垂線との交点をとってこれを $\rm Z$ とする．