1967年(昭和42年)東京大学-数学(理科)[6](旧課程) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.05.03記

[6](旧課程) 点 ${\rm A}_0$ を一端とする半直線 $l$ 上に点 ${\rm A}_1$ ， ${\rm A}_2$ が与えられていて， $\overline{{\rm A}_0{\rm A}_1} =1$ ， $\overline{{\rm A}_0{\rm A}_2} =8$ であるとする．いまこれから，点 ${\rm A}_n$ （ $n=3，4，5，\cdots\cdots$ ）を次の手順で定める．

(1) ${\rm A}_{n-2}$ ， ${\rm A}_{n-1}$ のうち ${\rm A}_0$ に近い方を $\rm X$ ，遠い方を $\rm Y$ とする．線分 ${\rm A}_0{\rm Y}$ を直径とする半円と， $\rm X$ における $l$ の垂線との交点をとってこれを $\rm Z$ とする．

(2) つぎに， ${\rm A}_0$ を中心とする半径 $\overline{{\rm A}_0{\rm Z}}$ の円と，半直線 $l$ との交点をとってこれを ${\rm A}_n$ とする．

このとき，点 ${\rm A}_n$ はある定点 ${\rm A}$ に限りなく近づく．線分 ${\rm A}_0{\rm A}$ の長さを求めよ．

2022.05.03記

[解答]
$\overline{{\rm A}_0{\rm A}_1}=a_n$ とおくと $a_n^2=a_{n-1}a_{n-2}$ ( $n=3,4,\cdots$ )が成立するので
$\log_2 a_n =b_n$ とおくと
$b_1=0$ ， $b_2=3$ ， $2b_n=b_{n-1}+b_{n-2}$ ( $n=3,4,\cdots$ )
が成立する．

よって
$b_n-b_{n-1}=-\dfrac{1}{2}(b_{n-1}-b_{n-2})$ $=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}(b_2-b_1)$ $=3\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}$
となる．よって
$b_n=b_1+3\cdot\dfrac{1-(-1/2)^{n-1}}{1+1/2}$ $=6\cdot\dfrac{1-(-1/2)^{n-1}}{3}$
となるので， $b_n\to 2$ ( $n\to\infty$ )となり， $a_n\to 4$ ( $n\to\infty$ )となる．