1953年(昭和28年)東京大学-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

4科目のうち2科目を選択せよ

【解析Ｉ】

[1] 点 $\rm A$ $(2,\, 3)$ ， $\rm B$ $(0,\,0)$ ， $\rm C$ $(3,0)$ を頂点とする三角形がある．底辺 $\rm BC$ 上の一点 $\rm P$ $(x,\,0)$ を通り $\rm BC$ に垂直な直線でこの三角形を二つの部分に分けるとき，頂点 $\rm B$ の側にある部分の面積を $x$ の函数とみなすことができる．それはどんな函数であるか．またそのグラフをえがけ．

[2] 与えられた長さ $l$ の線分を適当に六本の線分にわけ，それを使って図のような三箇の等積な長方形を合わせた形の図形を作る．このようにして作り得る長方形 $\rm ABCD$ の面積の最大値を求めよ．

[3] $1\lt x\lt a$ なるとき， $(\log_a x)^2$ ， $\log_a x^2$ ， $\log_a (\log_a x)$ の大小の順序はどうか，またそれはどうしてわかるか．

【解析ＩＩ】

[1] 函数 $y=Ax+B+\dfrac{C}{x}$ に関し，次の各条件を求めよ．

(1) そのグラフが原点に関して対称な条件．

(2) そのグラフが $x$ 軸と共有点をもたない条件．

(3) 極大値も極小値もとらない条件．

[2] 函数 $y=|\sin x+\cos x -1|$ のグラフをえがけ．

[3] 放物線 $y=x^2$ がある．点 $(1，2)$ を通る弦のうちで，その放物線と囲む面積の最小なるものを求めよ．

【幾何】

[1] 四直線 $x-y-4=0$ ， $2x+5y-15=0$ ， $4x-y+3=0$ ， $x+3y+4=0$ で囲まれた面積を求めよ．

[2] 与えられた楕円の二つの焦点 $\rm F$ ， $\rm F'$ を通りこの楕円上の点を焦点とする放物線の準線は一定円に接することを証明せよ．

[3] 一辺の長さが $a$ なる正 $n$ 角形の紙片から，その中心 $\rm O$ を頂点とし，その一辺 $\rm AB$ を底辺とする三角形 $\rm OAB$ を切り取り， $\rm OA$ と $\rm OB$ を一致させて，底面が正 $(n-1)$ 角形で頂点 $\rm O$ なる角錐を作る時，その容積はいくらか．

【一般数学】

[1] $n$ 日後に $A$ 円支払う約束の手形がある．日歩 $a$ 銭で $n$ 日預けた後に， $A$ 円受け取ることのできる金額が，割引利率日歩 $a$ 銭に対するこの手形の理論上の現在価格である．銀行ではこれに対して $A$ 円 $\times\Bigl(1-\dfrac{na}{10000}\Bigr)$ を支払う習慣である．銀行で支払う金額は理論上の現在価格よりいつでも小さいことを証明せよ．しかし $a$ と $n$ とが大きくなければ，その差額の $A$ に対する比は小さい． $a\leqq 5$ ， $n\leqq 100$ のとき，この比はどのくらいか．

[2] $\rm A$ ， $\rm B$ ， $\rm C$ ， $\rm D$ 4箇の袋がある．

$\rm A$ には白球4箇，赤球1箇；

$\rm B$ には白球3箇，赤球1箇；

$\rm C$ には白球2箇，赤球1箇；

$\rm D$ には白球1箇，赤球1箇；

が入っている．これらの袋 $\rm A$ ， $\rm B$ ， $\rm C$ ， $\rm D$ からそれぞれ1箇の球を取り出すとき，2箇以上が赤球である確率はいくらか．

[3] 右の図で正方形 $\rm A'B'C'D'$ をその中心のまわりで正方向に $30^{\circ}$ 回転したものである．点 $\rm P$ は，正方形 $\rm ABCD$ の周上を一定の速さで $5$ 分間に $7$ 回まわり点 $\rm Q$ は正方形 $\rm A'B'C'D'$ の周上を一定の速さで $25$ 分間に $33$ 回まわるものとする． $\rm P$ ， $\rm Q$ が同時に $\rm E$ を出発して同じ向きに回転するとき，