1966年(昭和41年)東京大学-数学(文科)[5](旧課程) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[5](旧課程) 点 $\rm O$ を中心とする定円の円周上に1 点 $\rm A$ を固定し， $\rm O$ とも $\rm A$ とも異なる点 $\rm P$ を半径 $\rm OA$ 上にとる．点 $\rm P$ を通り $\rm OA$ に垂直な弦の一端における円の接線が， $\rm OA$ の延長と交わる点を $\rm Q$ とする．

点 $\rm P$ が点 $\rm A$ に近づくときの $\dfrac{\overline{\rm PQ}}{\overline{\rm PA}}$ の極限を求めよ．ただし， $\overline{\rm PQ}$ ， $\overline{\rm PA}$ はそれぞれ線分 $\rm PQ$ ， $\rm PA$ の長さである．

2020.09.29記
円を単位円として良く， $\rm O(0,0)$ ， $\rm A(1,0)$ ， ${\rm P}(\cos\theta,0)$ とすると， ${\rm Q}(1/\cos\theta,0)$ だから，
$\dfrac{\overline{\rm PQ}}{\overline{\rm PA}}$ $=\dfrac{1/\cos\theta -\cos\theta}{1-\cos\theta}$ $=\dfrac{1+\cos\theta}{\cos\theta}\to 2$ （ $\theta\to 0$ ）

2022.05.02記
文系向けだとすると

[解答]
円を単位円として良く， $\rm O(0,0)$ ， $\rm A(1,0)$ ， ${\rm P}(x,0)$ とすると， ${\rm Q}(1/x,0)$ だから，
$\dfrac{\overline{\rm PQ}}{\overline{\rm PA}}$ $=\dfrac{1/x -x}{1-x}$ $=\dfrac{1+x}{x}\to 2$ （ $x\to 1$ ）