1967年(昭和42年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[3] 南北の方向に水平でまっすぐな道路上を，自動車が南から北へ時速100 kmで走っている．また飛行機が一定の高度で一直線上を時速 $\sqrt{7}\times 100$ kmで飛んでいる．自動車から飛行機を見たところ，ある時刻にちょうど西の方向に仰角30度に見えて，それから36秒後には北から30度西の方向に仰角30度に見えた．飛行機の高度は何m であるか．

2022.05.02記

[解答]
仰角が同じであることは，水平距離も等しいということである．

ある時刻の車の位置を $(0,0)$ とし，北が $y$ 軸正の向きとなるようにとる．36秒後の車は1km 進むのでその位置を $(0,1)$ とする．

ある時刻の飛行機の位置を地面に正射影した場所を $(-x,0)$ とすると 36秒後の位置は $\left(-x\sin30^{\circ},1+x\cos30^{\circ}\right)$ $=\left(-\dfrac{x}{2},1+\dfrac{\sqrt{3}x}{2}\right)$ となり，この間に $\sqrt{7}$ km 進んだので
$7=\left(1+\dfrac{\sqrt{3}x}{2}\right)^2+\dfrac{x^2}{4}$
つまり $x^2+\sqrt{3}x+6=0$ となる． $x\gt 0$ より $x=\sqrt{3}$ となる．

仰角30度より，求める高度は $\sqrt{3}\tan 30^{\circ}=1$ km