[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1952年(昭和28年)東京大学-数学(一般数学)[3]

[3] 北緯30^{\circ}の地点で長さ 4m の棒の先端を北極星に向けて地上に立てておく．太陽の方位が南より30^{\circ}東，高度が45^{\circ}であるとき，この棒の影の長さはなにほどか．

文献によっては、「なにほどか」が「何程か」になっている。どうでも良いが。

2020.03.17記

x軸正方向を東， y軸正方向を北とする。 z軸正方向を上とする。

棒の下端を原点とすると、先端は(0,\, 4\sin 60^{\circ}, \, 4\cos 60^{\circ})=(0,\, 2\sqrt{3},\, 2)である。

太陽の方向が(\sin 45^{\circ}\cos (-60^{\circ}),\, \sin 45^{\circ}\sin (-60^{\circ}), \, \cos 45^{\circ})，つまり、( 1,\, -\sqrt{3},\, 2)に平行である。
よって，影の先端の座標は(-1,\,3\sqrt{3},\,0)となり，その長さは\sqrt{(-1)^2+(3\sqrt{3})^2}=2\sqrt{7}m