2024.01.04記
本問のテーマ
の 倍角公式
2020.10.10記
ここで、 という関係があるので、これを利用して の 倍角公式を導くことができる.
,,… となり、二項係数が下上下上と並ぶ構造となっており、 であることはすぐにわかる.
2024.01.04記
と(2)から
であることがわかるし,
の形をしており, で だから , が成立して
であることもわかる.
[解答]
(1) のとき
,
により ,
となり成立する.
(1) のとき
,
により ,
となり成立する.
のとき
,
なる多項式 , が存在すると仮定すると
,
により
,
によって定まる多項式 , が存在する.
よって数学的帰納法により任意の自然数 について題意をみたす多項式 , が存在する.
(2) であるから
が成立する.つまり
が成立する.よって とおくと により
が成立し, より(1)から
,
であるから
が成立する.
同様に であるから
が成立する.つまり
が成立する.よって とおくと により
が成立し, より(1)から
,
であるから
が成立する.
であるから,複素数と回転行列の対応を考えると
となっており,大人の解答との共通性が見えてくるだろう.