1974年(昭和49年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.09記

[3] 下の図は線分 $\mbox{AB}$ の投影図で，その各部の寸法は図に記入してある通りである．
この線分の上端 $\mbox{A}$ を通り， $\mbox{AB}$ となす角が $60^{\circ}$ ，平画面に対する傾きが $30^{\circ}$ であるような直線の，平画面上の跡を $\mbox{C}$ とする．点 $\mbox{B}$ の平面図 $\textrm{b}$ を原点とし， $\textrm{ab}$ を $x$ 軸， $\textrm{bb}'$ を $y$ 軸として，点 $\mbox{C}$ の座標を求めよ．

2023.08.09記

[解答]
$\mbox{A}(1,0,1)$ ， $\mbox{B}(0,0,0)$ である．
$\mbox{C}$ 平画面上であるから $\mbox{C}(x,y,0)$ とおくと， $\mbox{AB}$ となす角が $60^{\circ}$ であるから
$\left|\dfrac{\vec{\mbox{AB}}\cdot\vec{\mbox{AC}}}{|\vec{\mbox{AB}}|\,|\vec{\mbox{AC}}|}\right|$ $=\dfrac{|2-x|}{\sqrt{2}\sqrt{(x-1)^2+y^2+1}}=\dfrac{1}{2}$
となる．また平画面に対する傾きが $30^{\circ}$ であるから $z$ 軸とのなす角度は $60^{\circ}$ となり，
$\dfrac{1}{1\cdot\sqrt{(x-1)^2+y^2+1}}=\dfrac{1}{2}$
となる．

この2式の比をとることにより $|2-x|=\sqrt{2}$ となり， $x^2-4x+2=0$ となる．このとき
$(x-1)^2+y^2+1=2x+y^2=4$ ，つまり $y^2=4-2x$ となり， $x\leqq 2$ だから $|2-x|=\sqrt{2}$ から
$x=2-\sqrt{2}$ となる．

よって $(x,y)=(2-\sqrt{2},\pm\sqrt[4]{8})$ となり，よって $\mbox{C}(2-\sqrt{2},\pm\sqrt[4]{8},0)$ となる．