[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1975年(昭和50年)東京大学-数学(理科)[4]

2023.08.11記

[4] 数列 \{a_n\} の項が a_1=\sqrt{2}，a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}（ n=1，2，3，…）によって与えられているものとする．このとき a_n=2\sin{\theta}_n，0\lt {\theta}_n \lt \dfrac{\pi}{2} を満たす {\theta}_n を見いだせ．また \displaystyle\lim_{n\to\infty}{\theta}_n を求めよ．

2023.08.12記

[解答]
a_n=2\cos\varphi_n（0\leqq \varphi_n\leqq\dfrac{\pi}{2}） とおくと
a_1=\sqrt{2}=2\cos\dfrac{\pi}{4}，a_{n+1}=\sqrt{2+2\cos\varphi_n}=2\cos\dfrac{\varphi_n}{2}
から a_n=2\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}=2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)
となるので，
\theta_n=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2^{n+1}}
となる．このとき，\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\theta}_n=\dfrac{\pi}{2} である．