[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2020年(令和2年)九州大学後期数学[4]

[4]

直交座標で表された次の2つの方程式
$|x|+|y|=c_1\cdots\cdots (A)$ ，
$\sqrt{x^2+y^2}=c_2\cdots\cdots (B)$
を定義する．ただし $c_1$ ， $c_2$ は正の定数である．

(1) $xy$ 平面上に式(A)を満たす $(x,y)$ を図示せよ．

(2) 極座標 $(r,\theta)$ を用いて，式(A)，(B)をそれぞれ極方程式で表せ．

(3) 原点を除く $(x,y)$ に対して $\dfrac{|x|+|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ の最大値および最小値を求めよ．

2020.03.13記
異なる2点のL1距離とL2距離の比は1から $\sqrt{2}$ の範囲にある。

[解答]

(1) $(c_1,0),(0,c_1),(-c_1,0),(0,-c_1)$ の4点を結んでできる正方形

(2) $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ を代入して，
(A) は $r=\dfrac{c_1}{|\cos\theta|+|\sin\theta|}$ ，(B)は $r=c_2$

(3) 同じ $r,\theta$ に対する $\dfrac{c_1}{c_2}$ の範囲を求めれば良い。
$\dfrac{c_1}{c_2}=|\cos\theta|+|\sin\theta|$ は $1$ から $\sqrt{2}$ の範囲にある。