1982年(昭和57年)東京大学-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.23記

[3] $a$ ， $b$ を整数として， $x$ の4次方程式 $x^4+ax^2+b=0$ の $4$ つの解を考える．いま， $4$ つの解の近似値
$-3.45$ ， $-0.61$ ， $0.54$ ， $3.42$ がわかっていて，これらの近似値の誤差の絶対値は $0.05$ 以下であるという．真の解を小数第2位まで正しく求めよ．

2020.11.26記
複2次式．

[解答]
題意より $x^4+ax^2+b=0$ の解は $\pm\sqrt{\alpha}，\pm\sqrt{\beta}$ （ $\alpha\gt\beta$ ）とおけ，条件から
$-3.50\leqq -\sqrt{\alpha}\leqq -3.40$ ， $3.37\leqq \sqrt{\alpha}\leqq 3.47$ ，
$-0.66\leqq -\sqrt{\beta}\leqq -0.56$ ， $0.49\leqq \sqrt{\beta}\leqq 0.59$
となる．よって
$3.40\leqq \sqrt{\alpha}\leqq 3.47$ ， $0.56\leqq \sqrt{\beta}\leqq 0.59$
となり $1.904\leqq \sqrt{b}=\sqrt{\alpha\beta}\leqq 2.0473$ が成立する． $b$ は整数だから $b=4$

$a=-(\alpha+\beta)=-\{(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta})^2-2\sqrt{b}\}$ に注意すると，
$3.96^2\leqq 4-a \leqq 4.06^2$ から $15.6...\leqq 4-a \leqq 16.4...$ となり $a=-12$

よって $x^4-12x^2+4=0$ を解いて $x=\pm 2\pm\sqrt{2}$ （複号任意）となり，これを小数第2位まで求めると $x=\pm 3.41，\pm 0.58$ となる．