1985年(昭和60年)東京大学-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.26記

[1] $a$ ， $b$ は $a^2+b^2\neq 0$ なる実数とし， $A=\dfrac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix} a^2 & ab \\ ab & b^2 \end{pmatrix}$ ， $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とおく．行列 $A^3$ ， $(I-A)^2$ の表す一次変換による点 $\mbox{P}(x,y)$ の像を，それぞれ $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とする．ただし， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ はいずれも $\mbox{P}$ と一致しないものとする．

(1) $\angle\mbox{QPR}$ の大きさを求めよ．

(2) $\triangle\mbox{PQR}$ の面積を $a$ ， $b$ ， $x$ ， $y$ を用いて表せ．

本問のテーマ

正射影行列
羃等行列
直和分解

単位ベクトル $\overrightarrow{e}$ から作られる行列
$A=\overrightarrow{e}\overrightarrow{e}^{\top}$
で表される1次変換は，任意の $\overrightarrow{x}$ に対して
$A\overrightarrow{x}=(\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{x})\overrightarrow{e}$
（ $\overrightarrow{x}$ の $\overrightarrow{e}$ 方向への正射影ベクトル）
となるので， $\overrightarrow{e}$ 方向への正射影を表す

2020.12.14記

[解答]
(1) $\overrightarrow{a}=(a,b)^{\top}$ ， $\overrightarrow{b}=(-b,a)^{\top}$ とおくと，
$A=\left(\dfrac{\overrightarrow{a}}{||\overrightarrow{a}||}\right)\left(\dfrac{\overrightarrow{a}}{||\overrightarrow{a}||}\right)^{\top}$
は $\overrightarrow{a}$ 方向への正射影を表し，
$I-A=\dfrac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix} b^2 & (-b)a \\ (-b)a & a^2 \end{pmatrix}$
$=\left(\dfrac{\overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{b}||}\right)\left(\dfrac{\overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{b}||}\right)^{\top}$
は $\overrightarrow{b}$ 方向への正射影を表す．

これらは羃等行列なので、
$A^3=A，(I-A)^2=I-A$
をみたす．

よって
$\vec{\rm OQ}+\vec{\rm OR}$ $=\{A^3+(I-A)^2\}\vec{\rm OP}$ $=\{A+(I-A)\}\vec{\rm OP}$ $=\vec{\rm OP}$
となり， $\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$ から $\angle \rm QOR$ は直角だから，四角形 $\rm OQPR$ は長方形。

よって $\angle\rm QPR=90^{\circ}$ となる。

(2) $\triangle\rm PQR=\triangle OQR$ $=\dfrac{1}{2}\cdot {\rm OQ}\cdot {\rm OR}$
$=\dfrac{1}{2}\cdot \left|\dfrac{\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot \overrightarrow{a}}{||\overrightarrow{a}||}\right|\cdot \left|\dfrac{\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot \overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{b}||}\right|$
$=\dfrac{|(ax+by)(bx-ay)|}{2(a^2+b^2)}$

成分計算により ${\rm Q}\Bigl(\dfrac{a(ax+by)}{a^2+b^2},\dfrac{b(ax+by)}{a^2+b^2}\Bigr)$ ，
${\rm R}\Bigl(\dfrac{b(bx-ay)}{a^2+b^2},\dfrac{-a(bx-ay)}{a^2+b^2}\Bigr)$
だから，
$\triangle\rm PQR=\triangle OQR$ $=\dfrac{1}{2}\cdot {\rm OQ}\cdot {\rm OR}=\dfrac{|(ax+by)(bx-ay)|}{2(a^2+b^2)}$
と求めても良い．