[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1988年(昭和63年)東京大学-数学(理科)[5]

2023.08.29記

[5] $xyz$ 空間において， $xz$ 平面上の $0\leqq z\leqq 2-x^2$ で表される図形を $z$ 軸のまわりに回転して得られる不透明な立体を $V$ とする． $V$ の表面上 $z$ 座標1のところにひとつの点光源 $\mbox{P}$ がある．

$xy$ 平面上の原点を中心とする円 $C$ の， $\mbox{P}$ からの光が当たっている部分の長さが $2\pi$ であるとき， $C$ のかげの部分の長さを求めよ．

2021.01.22記

[解答]
${\rm P}(1,0,1)$ として良く， ${\rm P}$ における凸図形 $V$ の接平面の方程式は $z=3-2x$ だから， $xy$ 平面の光の部分と影の部分の境界は $x=\dfrac{3}{2}$ となる．

円 $C$ の半径を $r$ とし，光の部分の弧の中心角を $2\theta$ とすると， $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ であり，
$r\cos\theta=\dfrac{3}{2}$ かつ $r\theta=\pi$
をみたす．よって　 $\dfrac{\theta}{\cos\theta}=\dfrac{2\pi}{3}$ となるが，左辺は $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で単調増加だから，解は存在すれば1つであり， $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ は条件をみたす．

よって $r=3,\theta=\dfrac{\pi}{3}$ となり，影の部分の長さは $2\pi r -2\pi = 4\pi$