1992年(平成4年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.07記

[1] $x$ についての方程式 $px^2+(p^2-q)x-(2p-q-1)=0$ が解をもち，すべての解の実部が負となるような実数の組 $(p,q)$ の範囲を $pq$ 平面上に図示せよ．

(注) 複素数 $a+bi$ （ $a$ ， $b$ は実数， $i$ は虚数単位）に対し， $a$ をこの複素数の実部という．

[2] 甲，乙二人が出資して共同事業を行う．二人の出資合計を $s$ とするとき，この事業による利潤 $f(s)$ は
$f(s)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{1}{4}s{(s-3)}^2 & (0 \leqq s \leqq 2) \\-\dfrac{3}{4}s+2 & (s\gt 2)\end{array}\right.$
で与えられ，利潤は出資額に応じて甲，乙に比例配分されるものとする．甲の出資額 $a$ が一定であるとして，乙の利潤配分額を最大にする $s$ の値を求めよ．ただし $0\leqq a\leqq 2$ とする．

[3] $p_1=1$ ， $p_2=1$ ， $p_{n+2}=p_n+p_{n+1}$ （ $n\geqq 1$ ）によって定義される数列 $\{p_n\}$ をフィボナッチ数列といい，その一般項は
$p_n=\dfrac{1}{\sqrt5} \left\{ { \left( \dfrac{1+\sqrt5}{2} \right) }^n-{ \left( \dfrac{1-\sqrt5}{2} \right) }^n \right\}$
で与えられる．必要ならばこの事実を用いて，次の問いに答えよ．

各桁の数字が $0$ か $1$ であるような自然数の列 $X_n$ （ $n=1$ ， $2$ ，…）を次の規則により定める．

(i) $X_1=1$

(ii) $X_n$ のある桁の数字 $\alpha$ が $0$ ならば $\alpha$ を $1$ で置き換え， $\alpha$ が $1$ ならば $\alpha$ を ` $10$ ' で置き換える． $X_n$ の各桁ごとにこのような置き換えを行って得られる自然数を $X_{n+1}$ とする．