1992年(平成4年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.07記

[2] 甲，乙二人が出資して共同事業を行う．二人の出資合計を $s$ とするとき，この事業による利潤 $f(s)$ は
$f(s)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{1}{4}s{(s-3)}^2 & (0 \leqq s \leqq 2) \\-\dfrac{3}{4}s+2 & (s\gt 2)\end{array}\right.$
で与えられ，利潤は出資額に応じて甲，乙に比例配分されるものとする．甲の出資額 $a$ が一定であるとして，乙の利潤配分額を最大にする $s$ の値を求めよ．ただし $0\leqq a\leqq 2$ とする．

本問のテーマ

3次関数の箱（4等分×2等分）
$x+\dfrac{1}{x}$ の形

2024.01.07記

$ax+\dfrac{b}{x}$ （ $x\gt 0$ ， $a,b\gt 0$ ）は $x=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ のとき最小値 $2\sqrt{ab}$ をとる．

[解答]
乙の利潤 $g(s)$ は $f(s)$ の $\dfrac{s-a}{s}$ 倍だから
$g(s)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{1}{4}(s-a){(s-3)}^2 & (a \leqq s \leqq 2) \\ \dfrac{8+3a}{4}-\left(\dfrac{3}{4}s+\dfrac{2a}{s}\right) & (s\gt 2)\end{array}\right.$
となる．

(a) $g(s)$ の $a\leqq s\leqq 2$ における振舞について：
3次関数の箱（4等分×2等分）から，
$\dfrac{1}{4}(s-a){(s-3)}^2$ は $s=\dfrac{3+2a}{3}$ で極大， $s=3$ で極小となる3次関数である．

(i) $0\leqq a\leqq \dfrac{3}{2}$ のとき，
$g(s)$ は $a\leqq s\leqq 2$ の範囲で $s=\dfrac{3+2a}{3}$ で極大かつ最大となる．

(ii) $\dfrac{3}{2}\leqq a\leqq 2$ のとき，
$g(s)$ は $a\leqq s\leqq 2$ の範囲で単調増加となる．

(a) $g(s)$ の $2\lt s$ における振舞について：
$\dfrac{3}{4}s+\dfrac{2a}{s}$ （ $s\gt 0$ ）は $s=\sqrt{\dfrac{8a}{3}}$ で極小かつ最小となる関数であるから， $\dfrac{8+3a}{4}-\left(\dfrac{3}{4}s+\dfrac{2a}{s}\right)$ は $s=\sqrt{\dfrac{8a}{3}}$ で極大かつ最大となる関数である．

(i) $0\leqq a\leqq \dfrac{3}{2}$ のとき，
$g(s)$ は $2\lt s$ の範囲で単調減少となる．

(ii) $\dfrac{3}{2}\leqq a\leqq 2$ のとき，
$g(s)$ は $2\lt s$ の範囲で $s=\sqrt{\dfrac{8a}{3}}$ で極大かつ最大となる．

以上から，
(i) $0\leqq a\leqq \dfrac{3}{2}$ のとき， $g(s)$ は $s=\dfrac{3+2a}{3}$ で最大値をとる．
(ii) $\dfrac{3}{2}\leqq a\leqq 2$ のとき， $g(s)$ は $s=\sqrt{\dfrac{8a}{3}}$ で最大値をとる．

3次関数， $ax+\dfrac{b}{x}$ のどちらも切り替わる場所を同じにしている所が優しい。