1994年(平成6年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.10記

[2] $xy$ 平面上の $2$ 点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ に対し， $\mbox{P}$ と $\mbox{Q}$ を $x$ 軸または $y$ 軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値を $d(\mbox{P},\mbox{Q})$ で表す．

(1) 原点 $\mbox{O}(0,0)$ と点 $\mbox{A}(1,3)$ に対し， $d(\mbox{O},\mbox{P})=d(\mbox{P},\mbox{A})$ を満たす点 $\mbox{P}(x,y)$ の範囲を $xy$ 平面上に図示せよ．

(2) 点 $\mbox{A}(1,3)$ と点 $\mbox{B}(-1,1)$ に対し， $d(\mbox{A},\mbox{P})=d(\mbox{P},\mbox{B})$ を満たす点 $\mbox{P}(x,y)$ の範囲を $xy$ 平面上に図示せよ．

2024.01.12記

[解答]
$st$ 平面における $t=|s|-|C-s|$ （ $C\gt 0$ ）のグラフを考えると
(a) $s\leqq 0$ のとき， $t=-C$ ，
(b) $0\leqq s\leqq C$ のとき， $t=2s-C$ （このとき $|t|\leqq C$ ），
(c) $C\leqq s$ のとき， $t=C$
が成立するので， $|s|-|C-s|=t$ について
(a') $t=-C$ ならば $s\leqq 0$ ，
(b') $|t|\leqq C$ ならば $t=2s-C$ ，
(c') $t=C$ ならば $C\leqq s$
が成立する．

(1) $|x|+|y|=|1-x|+|3-y|$ を図示すれば良い．

$x\leqq 0$ のとき， $|y|-|3-y|=1$ により(b') の場合で $y=2$

$0\leqq x\leqq 1$ のとき， $|y|-|3-y|=1-2x$ により(b') の場合で $y=2-x$

$1\leqq x$ のとき， $|y|-|3-y|=-1$ により(b') の場合で $y=1$

（図示略）

(2) 原点 $\mbox{O}(0,0)$ と点 $\mbox{A}(2,2)$ に対し， $d(\mbox{O},\mbox{P})=d(\mbox{P},\mbox{A})$ を満たす点 $\mbox{P}(x,y)$ の範囲を $xy$ 平面上に図示したものを $x$ 軸方向に $-1$ ， $y$ 軸方向に $1$ 平行移動したものが答．