[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2018年(平成30年)東京大学-数学(文科)[1]

2020.09.30記

2021.01.27記

[解答]
(1) $(0,0)$ と $C$ 上の点 $(0,4)$ の距離が 4 だから， $l,m$ は $C$ の $x=\pm 2$ における接線だから $l:y=-7x$ ， $m:y=x$ として良い．このとき $C$ 上の点 $(t,t^2-3t+4)$ について
$f(t)=\sqrt{L}+\sqrt{M}=\dfrac{|t+2|}{\sqrt[4]{50}}+\dfrac{|t-2|}{\sqrt[4]{2}}$
は下の凸な折れ線だから， $t=-2,2$ のいずれかで最小となり，係数から $t=2$ のとき最小値
$f(2)=\dfrac{4}{\sqrt[4]{50}}$ をとる．

(2) 領域 $D$ 内の任意点 $\rm X$ に対して $\dfrac{\pi}{2}\leqq \angle{\rm XOP}\leqq\pi$ をみたす範囲を求めれば良い．(1) より原点からみて領域 $D$ は $l$ と $m$ の間にあるので，2直線に垂直な方向を考えて， $q\leqq \dfrac{1}{7}p$ かつ $q\leqq -p$ が求める範囲である．

（図示略)