2019年(平成31年)東北大学理系数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

実数を係数にもつ整式 $A(x)$ を $x^2+1$ で割った余りとして得られる整式を $[A(x)]$ と表す。

(1) $[2x^2+x+3],[x^5-1]$ をそれぞれ求めよ。

(2) 整式 $A(x),B(x)$ に対して、次の等式が成り立つことを示せ。
$[A(x)B(x)]$ $=[[A(x)][B(x)]]$

(3) 実数 $\theta$ に対して、次の等式が成り立つことを示せ。
$[(x\sin\theta+\cos\theta)^2]=x\sin2\theta+\cos2\theta$

(4) 次の等式を満たす実数 $a,b$ の組 $(a,b)$ をすべて求めよ。
$[(ax+b)^4]=-1$

剰余環 $R[x]/(x^2+1)$ は複素数体に自然同型であるという話。 $x^2$ を $-1$ にどんどん置き換えようということ。

(1) 順に $x+1,x-1,-2$

(2) $A(x),B(x)$ を $x^2+1$ で割った商をそれぞれ $f(x),g(x)$ とし、余りをそれぞれ $r(x),s(x)$ とすると、 $A(x)=(x^2+1)f(x)+r(x),B(x)=(x^2+1)g(x)+s(x)$ であり、
$A(x)B(x)=(x^2+1)\{(x^2+1)f(x)g(x)+f(x)s(x)+g(x)r(x)\}+r(x)s(x)$
であるから、 $A(x)B(x)$ を $x^2+1$ で割った余りは $r(x)s(x)=[A(x)][B(x)]$ を $x^2+1$ で割った余りに等しい。

(3)ド・モアブルの定理。 $[(x\sin\theta+\cos\theta)^2]=[x^2\sin^2\theta+2x\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta]$
$=[(x^2+1-1)\sin^2\theta+2x\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta]$
$=2x\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta=x\sin2\theta+\cos2\theta$

(4)は $x^4=-1$ の解 $\dfrac{\pm 1\pm i}{\sqrt{2}}$ から $(a,b)=\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}},\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ （複号任意）となる。

$a=r\cos\theta,b=r\sin\theta$ をみたす $r\geq 0,0\leq\theta\lt 2\pi$ が存在し、このとき(3)から
$[(ax+b)^4]=r^4(x\sin4\theta+\cos4\theta)=-1$ であるから、 $r=1,\sin4\theta=0,\cos4\theta=-1$ が成立し、 $\theta=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$ （ $k$ は整数）となる。
$a=r\cos\theta,b=r\sin\theta$ から $a,b$ を求めると $(a,b)=\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}},\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ （複号任意）となる。