2004年(平成16年)東京大学前期-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[4] 片面を白色に，もう片面を黒色に塗った正方形の板が $3$ 枚ある．この3枚の板を机の上に横に並べ，次の操作を繰り返し行う．

さいころを振り，出た目が $1$ ， $2$ であれば左端の板を裏返し， $3$ ， $4$ であればまん中の板を裏返し， $5$ ， $6$ であれば右端の板を裏返す．たとえば，最初，板の表の色の並び方が「白白白」であったとし， $1$ 回目の操作で出たさいころの目が $1$ であれば，色の並び方は「黒白白」となる．さらに $2$ 回目の操作を行って出たさいころの目が $5$ であれば，色の並び方は「黒白黒」となる．

(1) 「白白白」から始めて， $3$ 回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ．

(2) 「白白白」から始めて， $n$ 回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」または「白黒白」または「白白黒」となる確率を $p_n$ とする． $p_{2k+1}$ （ $k$ は自然数）を求めよ．

注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする．

2021.01.29記
2004年(平成16年)東京大学前期-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 参照

[解答]
(1) 左3回(1通り)，左1回中2回(3通り)，左1回右2回(3通り)の合計7通りだから $\dfrac{7}{27}$

(2) 求める確率を $p_n$ とおく．
黒1つ，白2つとなれば良いので，
$p_{2(k+1)+1}=\dfrac{7}{9}p_{2k+1}+\dfrac{2}{3}(1-p_{2k+1})=-\dfrac{1}{9}p_{2k+1}+\dfrac{2}{3}$
これと $p_1=1$ から $p_{2k+1}=\dfrac{1}{4\cdot 9^{k}}+\dfrac{3}{4}$