[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2021年(令和3年)東京大学-数学(文科)

[問題]

[1]
$a$ を正の実数とする．座標平面上の曲線 $C$ を $y=ax^3-2x$ で定める．原点を中心とする半径 $1$ の円と $C$ の共有点の個数が $6$ 個であるような $a$ の範囲を求めよ．

[2]
$N$ を $5$ 以上の整数とする． $1$ 以上 $2N$ 以下の整数から，相異なる $N$ 個の整数を選ぶ．ただし $1$ は必ず選ぶこととする．選んだ数の集合を $S$ とし， $S$ に関する以下の条件を考える．

条件1: $S$ は連続する $2$ 個の整数からなる集合を1つも含まない．

条件2: $S$ は連続する $N-2$ 個の整数からなる集合を少なくとも1つ含む．

ただし, $2$ 以上の整数 $n$ に対して，連続する $k$ 個の整数からなる集合とは，ある整数 $l$ を用いて $\{l,l+1,\ldots\ldots,l+k-1\}$ と表される集合を指す．例えば $\{1,2,3,5,7,8,9,10\}$ は連続する $3$ 個の整数からなる集合 $\{1,2,3\}$ , $\{7,8,9\}$ , $\{8,9,10\}$ を含む．

(1) 条件1を満たすような選び方は何通りあるか．

(2) 条件2を満たすような選び方は何通りあるか．

[3]
$a,b$ を実数とする．座標平面上の放物線 $C:y=x^2+ax+b$ は放物線 $y=−x^2$ と $2$ つの共有点をもち，一方の共有点の $x$ 座標は $−1\lt x\lt 0$ を満たし，他方の共有点の $x$ 座標は $0\lt x\lt 1$ を満たす．

(1)点 $(a,b)$ のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ．

(2)放物線 $C$ の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ．

[4]
以下の問いに答えよ．

(1)正の奇数 $K,L$ と正の整数 $A,B$ が $KA=LB$ を満たしているとする． $K$ を $4$ で割ったあまりが $L$ を $4$ で割った余りと等しいならば， $A$ を $4$ で割った余りは $B$ を $4$ で割った余りと等しいことを示せ．

(2)正の整数 $a,b$ が $a\lt b$ を満たしているとする．このとき, $A={}_{4a+1}\mbox{C}_{4b+1},B={}_a\mbox{C}_b$ に対して $KA=LB$ となるような正の奇数 $K,L$ が存在することを示せ．

(3) $a,b$ は(2)の通りとし，さらに $a−b$ が $2$ で割り切れるとする． ${}_{4a+1}\mbox{C}_{4b+1}$ を $4$ で割ったあまりは ${}_a\mbox{C}_b$ を $4$ で割った余りと等しいことを示せ．

(4) ${}_{2017}\mbox{C}_{37}$ を $4$ で割った余りを求めよ．

2021年(令和3年)東京大学-数学(文科)[1]
2021年(令和3年)東京大学-数学(文科)[2]
2021年(令和3年)東京大学-数学(文科)[3]
2021年(令和3年)東京大学-数学(文科)[4]