2022年(令和4年)大阪大学-数学(文系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.05記

[2]
$n$ を $2$ 以上の自然数とし， $1$ 個のさいころを $n$ 回投げて出る目の数を順に $X_1, X_2, \cdots\cdots, X_n$ とする． $X_1, X_2, \cdots\cdots, X_n$ の最小公倍数を $L_n$ , 最大公約数を $G_n$ とするとき，以下の聞いに答えよ．

(1) $L_2=5$ となる確率および $G_2=5$ となる確率を求めよ．

(2) $L_n$ が素数でない確率を求めよ．

(3) $G_n$ が素数でない確率を求めよ．

2022.03.05記

[解答]

(1) $G_2=5$ となる場合は， $X_1=X_2=5$ だけであるから，その確率は $\dfrac{1}{36}$ であり，
$L_2=5$ となる場合は，出た目の順が $(5,1),(5,5),(1,5)$ の3通りだけであるから，その確率は $\dfrac{1}{12}$ である．

(2) $L_n$ が素数であるためには， $n$ 回の出た目が「1か2のみ」，「1か3のみ」，「1か5のみ」であるが「1でない目が少なくとも1回はでる」ことである．よってそれぞれの確率は $\dfrac{2^n-1}{6^n}$ となるので $L_n$ が素数である確率は
$\dfrac{3(2^n-1)}{6^n}$ となり，よって $L_n$ が素数でない確率は
$1-\dfrac{3(2^n-1)}{6^n}$ $=\dfrac{6^n-3\cdot 2^n+3}{6^n}$
である．

(3) $G_n$ が素数 $5$ であるためには， $n$ 回の出た目が「5のみ」であるから，その確率は $\dfrac{1}{6^n}$ である．

$G_n$ が素数 $3$ であるためには， $n$ 回の出た目が「3か6のみ」であるが，「少なくとも1回3が出る」ことであるから，その確率は $\dfrac{2^n-1}{6^n}$ である．

$G_n$ が素数 $2$ であるためには， $n$ 回の出た目が「2か4か6のみ」であるが，「4だけではなく、6だけでもない」ことであるから，その確率は $\dfrac{3^n-2}{6}^n$ である．

以上から，求める確率は
$1-\dfrac{1+(2^n-1)+(3^n-2)}{6^n}$ $=\dfrac{6^n-2^n-3^n+2}{6^n}$
である．

下手な考え休むに似たり，ということで機械的に漸化式を作る．

[別解]

(2) $L_n=k$ （ $k=1,2,3,5$ ）となる場合の数を $l_n(k)$ とすると
$l_{n+1}(1)=l_n(1)$ ，
$l_{n+1}(2)=l_n(1)+2l_n(2)$ ，
$l_{n+1}(3)=l_n(1)+2l_n(3)$ ，
$l_{n+1}(5)=l_n(1)+2l_n(5)$ ，
という漸化式が得られ， $l_n(1)=1$ だから
$l_{n+1}(2)=2l_n(2)+1$ ，
$l_{n+1}(3)=2l_n(3)+1$ ，
$l_{n+1}(5)=2l_n(5)+1$
となり，
$l_{n}(2)=2^{n-1}(l_1(2)+1)-1=2^n-1$ ，
同様に
$l_{n}(3)=l_{n}(5)=2^{n-1}(l_1(2)+1)-1=2^n-1$ ，
が成立する．よって求める確率は
$\dfrac{6^n-l_n(2)-l_n(3)-l_n(5)}{6^n}$ $=\dfrac{6^n-3\cdot 2^n+3}{6^n}$
である．

(3) $G_n=k$ となる場合の数を $g_n(k)$ とすると
$g_{n+1}(1)=g_n(1)$ ，
$g_{n+1}(2)=3g_n(2)+2g_n(4)+2g_n(6)$ ，
$g_{n+1}(3)=2g_n(3)+g_n(6)$ ，
$g_{n+1}(4)=g_n(4)$ ，
$g_{n+1}(5)=g_n(5)$ ，
$g_{n+1}(6)=g_n(6)$
という漸化式が得られ， $g_n(1)=g_n(4)=g_n(5)=g_n(6)=1$ だから
$g_{n+1}(2)=3g_n(2)+4$ ， $g_{n+1}(3)=2g_n(3)+1$
となり，
$g_{n}(2)=3^{n-1}(g_1(2)+2)-2=3^n-2$ ，
$g_{n}(3)=2^{n-1}(g_1(3)+1)-1=2^n-1$
が成立する．よって求める確率は
$\dfrac{6^n-g_n(2)-g_n(3)-g_n(5)}{6^n}$ $=\dfrac{6^n-2^n-3^n+2}{6^n}$
である．

ちなみに，使わなかったが，
$l_{n+1}(4)=l_n(1)+l_n(2)+3l_n(4)$ ，
$l_{n+1}(6)=l_n(1)+l_n(2)+l_n(3)+4l_n(6)$ ，
$l_{n+1}(10)=l_n(2)+l_n(5)+3l_n(10)$ ，
$l_{n+1}(12)=l_n(2)+l_n(3)+l_n(4)+l_n(6)+5l_n(12)$ ，
$l_{n+1}(15)=l_n(3)+l_n(5)+3l_n(15)$ ，
$l_{n+1}(20)=l_n(4)+l_n(5)+l_n(10)+4l_n(20)$ ，
$l_{n+1}(30)=l_n(5)+l_n(6)+2l_n(10)+l_n(15)+5l_n(30)$ ，
$l_{n+1}(60)=l_n(12)+l_n(15)+2l_n(20)+l_n(30)+6l_n(60)$
であり， $l_{n}(k)=0$ （ $k$ は $60$ の約数ではない）である．念のため書いておくと，
$l_{n+1}(60)$ には $=l_n(10)$ は含まれない． $L_n=10$ のとき，次に $6$ が出ても， $L_{n+1}=30$ であって最小公倍数が $60$ にはなないからである．