2023年(令和5年)大阪大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.26記

[3] $\mbox{P}$ を座標平面上の点とし，点 $\mbox{P}$ の座標を $(a，b)$ とする． $-\pi \leqq t \leqq \pi$ の範囲にある実数 $t$ のうち，曲線 $y=\cos x$ 上の点 $(t，\cos t)$ における接線が点 $\mbox{P}$ を通る
という条件をみたすものの個数を $N(\mbox{P})$ とする． $N(\mbox{P})=4$ かつ $0\lt a\lt \pi$ をみたすような点 $\mbox{P}$ の存在範囲を座標平面上に図示せよ．

2023.11.26記
凸な弧に引ける接線の数 - 球面倶楽部零八式 mark II
を使えば答がどうなるかはすぐに予想できる．

$y=f(x)$ の接線の方程式
$F(t)=f'(x)(x-t)+f(t)-y=0$
の相異なる実数解に着目するので， $F(t)$ の符号変化に着目するために $F(t)$ の極値を与える $t$ について考えるが，
$F'(t)=f''(t)(x-t)-f'(t)+f'(t)=f''(t)(x-t)$
であるから， $f''(t)=0$ または $t=x$ が極値の候補となる．

ここで $f''(t)=0$ をみたす $t$ に対する
$F(t)=f'(x)(x-t)+f(t)-y=0$
は $xy$ 平面で $y=f(x)$ の $f''(x)=0$ をみたし，符号変化を与える点（変曲点）における接線となるので，接線の引ける本数の境界として変曲点（凹凸がかわる点）における接線が登場することになる．

[解答]
$y=\cos x$ の $x=t$ における接線の方程式は
$y=-(\sin t)(x-t)+\cos t$
であるから，
$f(t)=-(\sin t)(a-t)+\cos t-b$
が $-\pi\leqq t\lt \pi$ に4つの異なる実数解をもつような $(a,b)$ の範囲を求め，その範囲の $0\lt a\lt \pi$ なる部分を図示すれば良い．

$f'(t)=-(\cos t)(a-t)+\sin t-\sin t$ $=-(\cos t)(a-t)$
より $f'(t)=0$ となる $t$ （ $-\pi\leqq t\lt \pi$ ）の値は
$t=\pm\dfrac{\pi}{2}$ ， $a$
（但し $t=a$ となるのは $-\pi\lt t\lt \pi$ ）

$f(-\pi)=-1-b$ ，
$f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}+a-b$ ，
$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}-a-b$
$f(\pi)=-1-b$
および $f(a)=\cos a-b$ である．

$N(\mbox{P})=4$ となるには，この5つの $t$ が異なる値
（だから $a\neq\dfrac{\pi}{2}$ ）
で， $f(t)$ は $t$ が小さい順に符号を4回変化する
（ $f(\pm\pi)=-1-b=0$ のときは真ん中の3つの $t$ の間で符号が2回変化する）
ことが必要十分である．

(i) $0\lt a\lt\dfrac{\pi}{2}$ のとき：
求める必要十分条件は
$f(-\pi)=-1-b\leqq 0$ ，
$f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}+a-b\gt 0$ ，
$f(a)=\cos a-b\lt 0$
$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}-a-b\gt 0$
$f(\pi)=-1-b\leqq 0$
であり， $a\gt 0$ に注意して整理すると
「 $\cos a\lt b\lt \dfrac{\pi}{2}-a$ かつ $-1\leqq b\lt \cos a$ 」
となる．ここで（ $0\lt a\lt\dfrac{\pi}{2}$ ）で $-1\leqq\cos a$ であるから，
$\cos a\lt b\lt \dfrac{\pi}{2}-a$
となる．

(ii) $\dfrac{\pi}{2}\lt a\lt \pi$ のとき：
求める必要十分条件は
$f(-\pi)=-1-b\leqq 0$ ，
$f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}+a-b\gt 0$ ，
$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}-a-b\lt 0$
$f(a)=\cos a-b\gt 0$
$f(\pi)=-1-b\leqq 0$
であり， $a\gt 0$ に注意して整理すると
「 $\dfrac{\pi}{2}-a\lt b\lt \cos a$ かつ $-1\leqq b\lt \cos a$ 」
となる．つまり