2021年(令和3年)京都大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3]

無限級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^n\cos\dfrac{n\pi}{6}$ の和を求めよ．

2021.03.09記

[解答]

$S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^k\cos\dfrac{k\pi}{6}$ ， $T_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^k\sin\dfrac{k\pi}{6}$ とおく．

$i$ を虚数単位として $z=\dfrac{1}{2}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\Bigr)$ $=\dfrac{\sqrt{3}+i}{4}$ とおくと
$S_n+iT_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} z^k=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}$
となり，複素共役をとると同様に
$S_n-iT_n=\dfrac{1-\bar{z}^{n+1}}{1-\bar{z}}$
が成立するので，
$2S_n=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}+\dfrac{1-\bar{z}^{n+1}}{1-\bar{z}}$
が成立する．ここで $|z|=\dfrac{1}{2}\lt 1$ より $n\to\infty$ で $|z|^n\to0$ ， $|\bar{z}|^n\to 0$ だから，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} 2S_n=\dfrac{1}{1-z}+\dfrac{1}{1-\bar{z}}$ $=\dfrac{2-z-\bar{z}}{1-z-\bar{z}+\dfrac{1}{4}}$ $=\dfrac{2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{5}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$ $=\dfrac{8-2\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}}$ $=\dfrac{28+6\sqrt{3}}{13}$
となる．よって
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n=\dfrac{14+3\sqrt{3}}{13}$
となる．