1931年(昭和6年)東京帝國大學理學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.08.08記

[1] $a$ ガ實數ナルトキ，方程式 $x^3-x+a=0$ ノ根ハ $a$ ノ變動ニ從ヒ如何ニ變動スルカ，之ヲ吟味セヨ．

2022.08.10記
どう吟味すれば良いか不明瞭．

[解答]
方程式 $x^3-x+a=0$ の解は $y=f(x)=-x^3+x$ と $y=a$ の交点の $x$ 座標である．

$y=f(x)$ の増減表は

$x$	$\cdots$	$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$\cdots$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	$-\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$	$\nearrow$	$\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$	$\searrow$

であり， $f\left(\mp\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=f\left(\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)$ に注意すると，

(i) $a\lt -\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$ のとき，実数解は1つで $a$ の増加に従ってその実数解は $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\lt x$ の範囲で減少する．

(ii) $a=-\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$ のとき，実数解は2つで $x＝-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ (重解)， $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ となる．

(iii) $-\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\lt\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$ のとき，実数解は3つで $a$ の増加に従って，最小の実数解は $x\lt -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ の範囲で減少し，真ん中の実数解は $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\lt x \lt \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ の範囲で増加し，最大の実数解は $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\lt x$ の範囲で減少する．

(iv) $a=\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$ のとき，実数解は2つで $x＝-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ ． $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ (重解)となる．

(i) $\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\lt a$ のとき，実数解は1つで $a$ の増加に従ってその実数解は $x\lt -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ の範囲で減少する．