[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1943-01-11

1943年(昭和18年)東京帝國大學醫學部-數學[1]

[1] $0\leqq \theta \leqq\dfrac{\pi}{2}$ ナル時， $\sin\theta\geqq\dfrac{2}{\pi}\theta$ ナルコトヲ證明セヨ．

本問のテーマ

2020.03.30記
Jensen の不等式（凸不等式）を用いて示す．

[解答]
$f(\theta)=\sin\theta$ とすると $f''(\theta)=-\sin\theta$ は $0\lt \theta \lt\dfrac{\pi}{2}$ で負だから， $f(\theta)$ はこの範囲で上に凸となる．よって $(0，0)$ と $\left(\dfrac{\pi}{2}，1\right)$ を結ぶ割線 $\dfrac{2}{\pi}\theta$ よりも上にある．

この不等式はジョルダンの不等式と呼ばれる．