2022年(令和4年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.25記

[1] 次の関数 $f(x)$ を考える。
$f(x)=(\cos x)\log(\cos x)$ $-\cos x$ $+\displaystyle\int_{0}^{x} (\cos t)\log(\cos t) dt$ $\left(0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}\right)$

(1) $f(x)$ は区間 $0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ において最小値を持つことを示せ。

(2) $f(x)$ の区間 $0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ において最小値を求めよ。

2022.02.25記

[解答]

(1) $f'(x)=-(\sin x)\log (\cos x)$ $-\sin x$ $+\sin x$ $+ (\cos x)\log (\cos x)$ $=(\cos x-\sin x)\log (\cos x)$
であるから，
$0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ で $\log (\cos x)\lt 0$ に注意すると，増減表は

$x$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$
$f'$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

となるので， $f(x)$ は $x=\dfrac{\pi}{4}$ で極小かつ最小となる．

(2) 最小値は $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ であり，
$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ $=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\sqrt{2}$ $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $+\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} (\cos t)\log(\cos t) dt$
である．

ここで，
$\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} (\cos t)\log(\cos t) dt$
$=\Bigl[ (\sin t)\log(\cos t) \Bigr]_0^{\pi/4}$ $+\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{\sin^2 t}{\cos t}dt$
$=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\sqrt{2}$ $+\displaystyle\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\dfrac{u^2}{1-u^2}du$
（ $\sin t = u$ とおくと $\cos t dt=du$ ）
$=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\sqrt{2}$ $+\displaystyle\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\left(-1+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{u+1}-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{u-1}\right)du$
$=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\sqrt{2}$ $+\Bigl[-u+\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{u+1}{u-1}\right|\Bigr]_{0}^{1/\sqrt{2}}$
$=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\sqrt{2}$ $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $+\dfrac{1}{2}\log\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$
であるから，
$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ $=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\sqrt{2}$ $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\log\sqrt{2}$ $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $+\dfrac{1}{2}\log\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$
$=-\sqrt{2}\log\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ $+\log(\sqrt{2}+1)$
となる．

計算間違ってそう。