[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1950-01-13

1950年(昭和25年)東京大学(新制)-数学(解析ＩＩ)[5]

[5] 曲線 $y=\sin x$ ， $0\leqq x\leqq \pi$ ，を $x$ 軸のまわりに一回轉してできる立體の體積を求む．

2024.11.04記

[解答]
$\displaystyle\int_0^{\pi} \pi \sin^2 x dx$ $=\displaystyle\int_0^{\pi} \dfrac{\pi}{2} (1-\cos 2x) dx$ $=\dfrac{\pi}{2} \left[ x-\dfrac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi}$ $=\dfrac{\pi^2}{2}$

[大人の解答]
曲線 $y=\sin x$ ， $0\leqq x\leqq \pi$ と $x$ 軸で囲まれた図形の重心は $\left(\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{8}\right)$ だから，パップス・ギュルダンの定理により $2\pi\cdot\dfrac{\pi}{8}\cdot 2=\dfrac{\pi^2}{2}$ となる．