[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1950年(昭和25年)東京大学(新制)-数学(解析ＩＩ)

[1] 次の

f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24

の中に適當な數を入れよ．

點 $(10,\,2)$ ， $(2,\,-2)$ を通る直線がある．

(1) この直線の方程式は $y=$ f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 $x+$ である．

(2) この直線の勾配は f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 である．

(3) この直線が $x$ 軸と交わる點の座標は f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 である．

(4) この直線が $y$ 軸と交わる點の座標は f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 である．

(5)この直線と $x$ 軸に關して對稱な直線の方程式は $y=$ f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 $x+$ である．

[2] 次の事柄は正しいか，正しいときには番號の前の□の中に○印をつけよ．正しくないときには番號の前の□の中に×印をつけて，正しくないことを示す例をあげて簡單に説明せよ．

□(1)水平な直線に垂直な直線は鉛直である．

□(2)鉛直な直線に垂直な直線は水平である．

□(3)二つの四角形の對應する四つの角が等しければ，この二つの四角形は相似である．

□(4)一つの圓で中心角の大きさと，これに對する弦の長さは比例する．

□(5) $\sin A$ と $\cos A$ とは反比例する．但し $A$ は鋭角とする．

[3] 次の極限値を求む．

(1) $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}$

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{\log n-\log(n-1)\}$

(3) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})$

(4) $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{1-\cos 3\theta}{\theta^2}$

[4] $f(x)=\dfrac{1-x}{2+x^2}$ とする．

(1) $x$ が増加するとき， $f(x)$ が増加するのは， $x$ がどんな範圍にあるときか．

(2) $x$ が増加するとき， $f(x)$ が減少するのは， $x$ がどんな範圍にあるときか．

(3) $f(x)$ の最大値を求む．

(4) $f(x)$ の最小値を求む．

(5) $f(x)$ のグラフをえがけ（方眼紙省略）．

[5] 曲線 $y=\sin x$ ， $0\leqq x\leqq \pi$ ，を $x$ 軸のまわりに一回轉してできる立體の體積を求む．

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