[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1950年(昭和25年)東京大学(新制)-数学(解析Ｉ)

[1] 次の

f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24

の中に適當な數を入れよ．

點 $(10,\,2)$ ， $(2,\,-2)$ を通る直線がある．

(1) この直線の方程式は $y=$ f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 $x+$ である．

(2) この直線の勾配は f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 である．

(3) この直線が $x$ 軸と交わる點の座標は f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 である．

(4) この直線が $y$ 軸と交わる點の座標は f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 である．

(5)この直線と $x$ 軸に關して對稱な直線の方程式は $y=$ f:id:spherical_harmonics:20200325010315j:plain:h24 $x+$ である．

[2] 次の事柄は正しいか，正しいときには番號の前の□の中に○印をつけよ．正しくないときには番號の前の□の中に×印をつけて，正しくないことを示す例をあげて簡單に説明せよ．

□(1)水平な直線に垂直な直線は鉛直である．

□(2)鉛直な直線に垂直な直線は水平である．

□(3)二つの四角形の對應する四つの角が等しければ，この二つの四角形は相似である．

□(4)一つの圓で中心角の大きさと，これに對する弦の長さは比例する．

□(5) $\sin A$ と $\cos A$ とは反比例する．但し $A$ は鋭角とする．

[3] 次の圖に示したのは $x=\pm 1$ ， $y=\pm 1$ で圍まれた正方形である． $x-y$ はこの正方形の中で左圖の $+$ としるした部分で正の値をとり， $-$ としるした部分で負の値をとる．

$x-y$ のかわりに次の諸式を考えると，この正方形のどの部分で正，あるいは負となるか．上の例にならつて圖に記入せよ（圖は省略）．

(1) $x+y$

(2) $x^2-y^2$

(3) $(x+y)^2-1$

(4) $|x|-|y|$

(5) $|x-y|-1$

[4] (1) $x$ の函數 $2x^2+3mx+2m$ の最小値 $y$ は $m$ のどんな函數になるか．

(2) この $m$ の函數 $y$ は， $m$ のどんな値に對して最大となるか．またその最大値を求めよ．

[5] $\log_2 =0.3010$ ， $\log_3 =0.4771$ を用いて次の値を求めよ．

(1) $\log 125$

(2) $\log \cos 30^{\circ}$

(3) $\log \sqrt[3]{0.2}$

(4) $6^{52}$ の桁數

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