1951年(昭和26年)東京大学-数学(幾何)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 正方形 $\rm ABCD$ の辺 $\rm CB$ ， $\rm CD$ 上にそれぞれ点 $\rm E$ ， $\rm F$ をとり， $\rm CE=CF$ ならしめ， $\rm E$ から $\rm AF$ に垂線を下し，その足を $\rm G$ とする。 $\rm E$ を辺 $\rm BC$ 上に動かすとき $\rm G$ はどんな線の上を動くか．

2020.03.15記

[解答]
四角形 $\rm CFGE$ は $\rm \angle C=\angle G=90^{\circ}$ より円に内接するので， $\rm \angle F+\angle E =180^{\circ}$ となる． $\rm\triangle CFG$ を $\rm C$ 中心に回転させて $\rm \triangle CEH$ を作ると $\rm H$ は $\rm GE$ 上にあり， $\rm\triangle CGH$ は直角2等辺三角形であるから， $\rm \angle EGC=45^{\circ}$ となる．

よって $\rm \angle AGC=135^{\circ}$ で一定となる．正方形の $\rm B$ の優角は $270^{\circ}$ であるから， $\rm G$ は $\rm B$ 中心で半径 $\rm AB$ の円周を $\rm A$ から $\rm C$ まで動く．

[別解]
半直線 $\rm AB$ 上に $\rm BX=AB$ なる点 $\rm X$ をとり， $\rm \triangle FDA$ を $\rm C$ 中心に 90度回転すると $\rm \triangle EBX$ に重なる．よって $\rm AF\perp XE$ となるので、 $\rm X$ ， $\rm E$ ， $\rm G$ は共線となり，よって $\rm \angle XGA=90^{\circ}$ が成立する．よって $\rm G$ は $\rm XA$ を直径とする円周上で正方形の内部を動く．

座標でやってもそれほど面倒ではない．

[別解2]
$\rm A(0，0)$ ， $\rm B(1，0)$ ， $\rm C(1，1)$ ， $\rm D(0，1)$ ， $\mbox{E}(1，t)$ ， $\mbox{F}(t，1)$ とおくと，直線 $\rm AF$ は $y=\dfrac{1}{t}x$ ，直線 $\rm GE$ は $y=-t(x-1)+t$ から $\mbox{G}\left(\dfrac{2t^2}{1+t^2}，\dfrac{2t}{1+t^2}\right)$ となる．

$t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ （ $0\lt t\leqq 1$ より $0\lt\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ ）とおくと $\mbox{G}(1-\cos\theta，\sin\theta)$ となるので， $\rm B$ 中心半径1の円周上を $\rm A$ から $\rm C$ まで動く（ $t=0$ の場合は極限を考える）．