1951年(昭和26年)東京大学-数学(解析ＩＩ)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] 二つの曲線
$x^2+y^2=4\sqrt{3}py，y^2=px$
に囲まれる面積を求めよ．ただし $p\gt 0$ とする。

2024.09.25記
円と放物線で円は2つの領域に分けられるが，その両方とも円と放物線で囲まれると解釈することができる．しかし，ここでは「放物線の板」と言われると放物線の焦点を含む側を指すのが一般的であることから「放物線の内部とは放物線の焦点を含む側」と考え，

「円と放物線で囲まれる部分とは，円の中心を含む側の領域と放物線の焦点を含む側の領域の共通部分」

であるとして解答する．

[解答]
円 $x^2+y^2=4\sqrt{3}py$ と放物線 $y^2=px$ は共に原点 $\rm O$ を通る．

原点以外の交点の座標は $x$ を消去した
$y^4+p^2y^2=4\sqrt{3}p^3y$ ，
つまり
$y^3+p^2y-4\sqrt{3}p^3=(y-\sqrt{3}p)\left\{\left(y+\dfrac{\sqrt{3}p}{2}\right)^2+\dfrac{13p^2}{4}\right\}=0$
から $y=\sqrt{3}p$ となり， $(3p，\sqrt{3}p)$ （点 $\rm A$ とする）となる．

よって円と放物線で囲まれた部分の面積を弦 $\rm OA$ で分かつと，半径 $2\sqrt{3}p$ ，中心角 $\dfrac{\pi}{3}$ の弓形と放物線弧と直線で囲まれる部分の面積に分けることができ，よって求める面積は
$\left\{\dfrac{\pi}{6}(2\sqrt{3}p)^2-\dfrac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3}p)^2\right\}$ $+\dfrac{(\sqrt{3}p)^3}{6p}$
$=2p^2\pi-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}p^2$
となる．