[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

[1] $a_1=0, \, a_2=1,\, a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}+a_{n}}{2}$ （ $n=1,\,2,\,3,\,\cdots$ ）
であるとき
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$
を求めよ．

2020.03.16記
漸化式の特性方程式は $2\lambda^2-\lambda-1=0$ であるから，その解は $\lambda = -\dfrac{1}{2},\,1$ となるので、 $a_n=\alpha \dfrac{1}{(-2)^{n-1}}+\beta$ とかける。

初期条件より $\alpha =-\dfrac{2}{3},\,\beta=\dfrac{2}{3}$ となり、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\beta=\dfrac{2}{3}$