[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1952年(昭和28年)東京大学-数学(解析ＩＩ)[1]

[1] a_1=0, \, a_2=1,\, a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}+a_{n}}{2} （n=1,\,2,\,3,\,\cdots）
であるとき
\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n
を求めよ．

2020.03.16記
漸化式の特性方程式は 2\lambda^2-\lambda-1=0 であるから，その解は \lambda = -\dfrac{1}{2},\,1となるので、 a_n=\alpha \dfrac{1}{(-2)^{n-1}}+\betaとかける。

初期条件より \alpha =-\dfrac{2}{3},\,\beta=\dfrac{2}{3} となり、\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\beta=\dfrac{2}{3}

2024.09.23記

[解答]
a_{n+2}-a_{n+1}=-\dfrac{1}{2}(a_{n+1}-a_n)=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n(a_{2}-a_1)=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n，
a_{n+2}+\dfrac{1}{2}a_{n+1}=a_{n+1}+\dfrac{1}{2}a_{n}=a_{2}+\dfrac{1}{2}a_{1}=1
であるから，
\dfrac{3}{2}a_{n+1}=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n
となり，
a_{n}=\dfrac{2}{3}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}
となる．よって
\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\dfrac{2}{3}
となる．