[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1982年(昭和57年)東京大学-数学(理科)[3]

2023.08.23記

[3] $xy$ 平面において，点 $\mbox{A}$ は原点 $\mbox{O}$ を中心とする半径 $1$ の円周の第1象限にある部分を動き，点 $\mbox{B}$ は $x$ 軸上を動く．ただし，線分 $\mbox{AB}$ の長さは $1$ であり，線分 $\mbox{AB}$ は両端 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ 以外の点 $\mbox{C}$ で円周と交わるものとする．

(1) $\theta=\angle\mbox{AOB}$ の取りうる値の範囲を求めよ．

(2) $\mbox{BC}$ の長さを $\theta$ で表せ．

(3) 線分 $\mbox{OB}$ の中点を $\mbox{M}$ とするとき，線分 $\mbox{CM}$ の長さの範囲を求めよ．

2020.11.26記

[解答]
(1) $B$ が円の外で円の接線になるまで，つまり $\dfrac{\pi}{4}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{3}$

(2) $\rm BC=1-AC$ $=1-2\cos(\pi-2\theta)$ $=1+2\cos 2\theta=4\cos^2\theta -1$

(3) 中線定理から $\rm OC^2+CB^2=2(CM^2+OM^2)$ となり $\rm CM^2$ $=8\cos^4\theta-5\cos^2\theta+1$ となるので，
$x=\cos^2\theta\in \Bigl[\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}\Bigr]$ とおくと，
$\rm CM^2$ $=f(x)=8\Bigl(x-\dfrac{5}{16}\Bigr)^2+\dfrac{7}{32}$ であるから
$f\Bigl(\dfrac{5}{16}\Bigr)\leqq {\rm CM}^2\lt f\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)$ ，つまり $\dfrac{\sqrt{14}}{8}\leqq {\rm CM}\lt \dfrac{\sqrt{2}}{2}$