[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1967年(昭和42年)東京大学-数学(理科)[5](旧課程)

2022.05.03記

[5](旧課程) $y =2 \sin x$ のグラフと $y=a-\cos 2x$ のグラフとが接するように定数 $a$ の値を定めよ．なお，そのときの図をかけ．ただし， $0\lt x\lt 2\pi$ の区間についてだけでよい．

2022.05.03記
河合塾の72年には本問は載っていない．

[解答]
$y=2\sin x$ と $y=a-\cos 2x$ の接点の $x$ 座標を $t$
（ $0\leqq t\leqq 2\pi$ ）とすると
$2\cos t=2\sin 2t$
から
$2\cos t(1-2\sin t)=0$
となる．

(i) $\cos t=0$ のとき:
$t=\dfrac{\pi}{2}$ ならば $2\cdot 1 = a+1$ から $a=1$ ，
$t=\dfrac{3\pi}{2}$ ならば $-2\cdot 1 = a+1$ から $a=-3$

(ii) $\sin t=\dfrac{1}{2}$ のとき， $\cos 2t=-\dfrac{1}{2}$ から
$2\cdot\dfrac{1}{2}=a+\dfrac{1}{2}$ から $a=\dfrac{3}{2}$
となる．