1968年(昭和43年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[1] 平面上の点 $(x，y)$ で
$x^2-5x$ $\lt y$ $\lt \dfrac{\pi}{5} \sin\Bigl(\dfrac{\pi x}{5}\Bigr) - \dfrac{3}{5}\sin^2\Bigl(\dfrac{\pi x}{5}\Bigr)$
を満たす範囲が，直線 $y=\alpha x$ によって面積の等しい2 つの部分に分けられるように， $\alpha$ の値を定めよ．

2024.02.23記

[解答]
$f(x)=x^2-5x$ ，
$g(x)=\dfrac{\pi}{5} \sin\Bigl(\dfrac{\pi x}{5}\Bigr) - \dfrac{3}{5}\sin^2\Bigl(\dfrac{\pi x}{5}\Bigr)$
$=\dfrac{1}{5} \sin\Bigl(\dfrac{\pi x}{5}\Bigr)\left[(\pi-3)+ 3\left\{1-\sin\Bigl(\dfrac{\pi x}{5}\Bigr)\right\}\right]$
とおく．

$y=f(x)$ は軸が $x=\dfrac{5}{2}$ であるから， $x=\dfrac{5}{2}$ に関して線対称である．また， $\sin\Bigl(\dfrac{\pi x}{5}\Bigr)$ も $x=\dfrac{5}{2}$ に関して線対称であるから $y=g(x)$ も $x=\dfrac{5}{2}$ に関して線対称である．

$x\leqq-5$ のとき $g(x)\leqq \dfrac{\pi+3}{5}\lt 50\lt f(x)$ ，

$-5\leqq x\lt 0$ のとき $g(x)\leqq 0\lt f(x)$ ，

$x=0$ のとき $f(0)=g(0)=0$ ，

$０\lt x\lt \dfrac{5}{2}$ のとき $f(x)\leqq 0\lt g(x)$

であるから， $f(x)\lt y\lt g(x)$ をみたす $y$ が存在する範囲は $0\lt x\lt 5$ である．

よってこの範囲の面積 $S$ は
$S=\displaystyle\int_0^5 \{g(x)-f(x)\}dx$
$=\Bigl[-\cos\Bigl(\dfrac{\pi x}{5}\Bigr)-\dfrac{3}{10}\Bigl\{x-\dfrac{5}{2\pi}\sin\Bigl(\dfrac{2\pi x}{5}\Bigr)\Bigr\}\Bigr]_0^5$ $-\Bigl[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{5x^2}{2}\Bigr]_0^5$
$=\dfrac{128}{6}$
となる．

ここで， $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積は $\dfrac{125}{6}\gt\dfrac{S}{2}$
であるから， $y=\alpha x$ と $y=f(x)$ は $0\lt x\lt 5$ において交わり，かつ $y=f(x)$ と $y=\alpha x$ で囲まれる部分の面積は
$\dfrac{S}{2}=\dfrac{64}{6}$ となる．

よって $0\lt \alpha+5\lt 5$ かつ $(\alpha+5)^3=64$ となり， $\alpha=-1$ となる．