[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1968年(昭和43年)東京大学-数学(理科)[2]

2020.09.29記

[2] 正方形\rm ABCD を底面とし，Vを頂点とする正四角錐（すい）において，底面と斜面のなす二面角が 45^{\circ} のとき，となりあう2 つの斜面のなす二面角を求めよ．

2024.02.23記

[解答]
底面の中心を \mbox{O}(0，0，0) とし，\mbox{A}(1，1，0)，\mbox{B}(-1，1，0) とおいても一般性は失われない．

このとき底面と斜面のなす二面角が 45^{\circ} により \mbox{V}(0，0，1) となる．

よって平面 \mbox{VAB} の式は y+z=1 となり，平面 \mbox{VDA} の式は x+z=1 となる．そしてこのとなりあう2 つの斜面のなす二面角の余弦は，法線ベクトルのなす角度の余弦
\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}
に等しい．よってとなりあう2 つの斜面のなす二面角は 60^{\circ} である．